В. Т. Базылев, К. И. Дуничев, В. П. Иваницкая, Г. Б. Кузнецова, В. М. Майоров, 3. А. Скопец. СБОРНИК ЗАДАЧ по ГЕОМЕТРИИ. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов/под ред. В. Т. Базылева. - М., 1980.
Предлагаемый сборник задач по геометрии для студентов педагогических институтов содержит около 1900 задач и упражнений, охватывающих все разделы программы по геометрии для пединститутов. Он рассчитан на обеспечение задачным материалом теоретического курса, изложенного в пособии «Геометрия», I и II, написанном авторским коллективом в составе В. Т. Базылева, К. И. Дуничева, В. П. Иваницкой. Как известно, указанный теоретический курс значительно отличается от других пособий наличием тесных внутренних связей со школьным курсом геометрии, а также рядом других теоретических и методических аспектов. Поэтому соответствующий этому курсу задачник необходим.
В целях усиления профессиональной направленности в обучении геометрии будущих учителей математики в задачах сборника, как правило, использованы фигуры школьного курса геометрии. Таким образом, не только в соответствующих разделах лекционного курса, но и с помощью задачного материала студент получает возможность углубленного изучения того «запаса фигур», с которым он будет затем иметь дело в школе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Раздел 1.Элементы векторной алгебры. Геометрия на плоскости.
Глава I. Векторы................... 8
§ 1. Векторы. Сложение векторов. Умножение вектора на число —
§ 2. Координаты вектора..............................12
§ 3. Скалярное произведение векторов .....................13
Глава II. Метод координат на плоскости..........17
§ 1. Система координат на плоскости........................—
§ 2. Прямая линия. Окружность . .....................20
§ 3. Разные задачи..............................29
Глава III. Преобразования плоскости ..........................34
§ 1. Отображения ..........................................—
§ 2. Перемещения ......... . . . ...............35
§ 3. Подобия ................................................41
§ 4. Аффинные преобразования ................................44
§ 5. Группы преобразований ...............................48
§ 6. Разные задачи ............................50
Глава IV. Линии второго порядка ................................53
§ 1. Эллипс ................................................—
§ 2. Гипербола . .......................................57
§ 3. Парабола ............................60
§ 4. Общее уравнение линии второго порядка....................62
Раздел 2. Прямые линии, плоскости и квадрики в евклидовых и аффинных пространствах.
Глава I. Метод координат в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов ....66
§ 1. Метод координат в пространстве............................—
§ 2. Векторное произведение векторов ........................68
§ 3. Смешанное произведение векторов ........................70
Глава II. Плоскости и прямые ..................................72
§ 1. Плоскость ..............................................—
§ 2. Прямая линия. Прямая и плоскость........................76
§ 3. Разные задачи ......................80
Глава III. Поверхности второго порядка ........................82
§ 1. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка.
Поверхности вращения ....................................—
§ 2. Эллипсоид -..............................................84
§ 3. Гиперболоиды ..........................................87
§ 4. Параболоиды ............................................89
Глава IV. Аффинное и евклидово n-мерные пространства ..........90
§ 1. Аффинное n-мерное пространство ..........................—
§ 2. Евклидово n-мерное пространство ........................95
Глава V. Квадратичные формы и квадрики........................102
§ 1. Билинейные и квадратичные формы........................—
§ 2. Квадрики ..............................................104
Глава VI. Выпуклые многогранники ............................107
§ 1. Выпуклые фигуры. Выпуклые многогранники..............—
§ 2. Правильные и полуправильные многогранники..............109
Раздел 3. Проективное пространство. Методы изображений.
Глава I. Проективное пространство ............................112
§ 1. Проективное пространство. Проективные координаты .... —
§ 2. Теорема Дезарга ........................................115
§ 3. Проективные отображения и преобразования................117
Глава II. Основные факты проективной геометрии................119
§ 1. Сложное отношение. Гармонические четверки. Полный четырех вершинник
§ 2. Проективные преобразования прямой и плоскости............120
§ 3. Кривые второго порядка на проективной плоскости..........123
§ 4. Проективные модели аффинной и евклидовой плоскостей . . . 126
Глава III. Геометрические построения на евклидовой плоскости ... 127
§ 1. Метод пересечений . . ...................................—
§ 2. Метод преобразований ....................................129
§ 3. Алгебраический метод ....................................131
§ 4. Разные задачи ..........................................132
Глава IV. Методы изображений ................................133
§ 1. Параллельное проектирование ..............................—
§ 2. Аксонометрия ..........................................135
§ 3. Позиционные и метрические задачи ........................137
§ 4. Метод Монжа ............................................140
§ 5. Перспектива ..........................................141
Раздел 4. Основания геометрии. Неевклидовы геометрии.
Глава I. Основания геометрии ..................................144
§ 1. Общие вопросы аксиоматики ..............................—
§ 2. Система аксиом Вейля. Система аксиом школьного курса геометрии ...145
Глава II. Неевклидовы геометрии ..............................148
§ 1. Сферическая геометрия .............. . . . —
§ 2. Эллиптическая геометрия Римана ..........................152
§ 3. Гиперболическая геометрия Лобачевского ..................153
Раздел 5. Элементы топологии. Линии и поверхности в евклидовом пространстве.
Глава I. Элементы топологии ................ . 156
§ 1. Топологические пространства. Гомеоморфизм ................—
§ 2. Многообразия. Эйлерова характеристика ..................158
Глава II. Линии в евклидовом пространстве......................159
§ 1. Гладкие кривые. Касательная. Длина дуги..................—
§ 2. Канонический репер кривой. Кривизна и кручение..........162
Глава III. Поверхности в евклидовом пространстве................165
§ 1. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль ... —
§ 2. Первая квадратичная форма поверхности....................166
§ 3. Вторая квадратичная форма поверхности......................169
Глава дополнительная. Планиметрические задачи на вычисление. ....170
§ 1 Треугольники. .........................................—
§ 2. Многоугольники. ........................................174
§ 3. Окружности и круги. ....................................176
Ответы и указания ..........................................180
