Атанасян Л. С., Атанасян В. А. Сборник задач по геометрии. Часть 2 ОНЛАЙН

Сборник задач по геометрии. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов, часть II. М., 1975.
Настоящий задачник составлен в соответствии с новой программой по геометрии для студентов вторых курсов физико-математических факультетов педагогических институтов по специальности «математика». В нем отражена идея единства всех геометрических дисциплин.
При составлении задачника имелось в виду, что, кроме студентов дневных отделений, им будут пользоваться также студенты заочных и вечерних отделений педагогических институтов и учителя средней школы. В связи с этим задачи, кроме ответов, снабжены также указаниями, а иногда и решениями.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие …………………….. 3
Раздел первый. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Глава 1. Прямые и плоскости в проективном пространстве. Проективные преобразования ………….. 6
§ 1. Принцип двойственности; теорема Дезарга………….. 6
I. Проективное пространство (6). 2. Задачи на построение (8). 3. Расширенные аффинное и евклидово пространства (8).
§ 2. Координаты точек на прямой. Сложное отношение и гармонические четверки ………………………….. 9
1. Координаты точек на проективной прямой (9). 2. Задачи на построение (11). 3. Прямая в расширенном аффинном и евклидовом пространствах (И).
§ 3. Проективные отображения; преобразования прямых и пучков….. 12
1. Свойства проективных отображений и преобразований (12). 2. Задачи на построение (13). § 4. Инволюции; аналитическое задание проективных преобразований … 14 I. Инволюции (14), 2*. Проективное преобразование прямой в координатах (16). 3. Проективные преобразования прямой расширенного евклидова и аффинного пространств (17).
§ 5. Проективные координаты точек и прямых на плоскости. Формулы преобразования ……………. 18
1. Проективные координаты точек и прямых (18). 2. Формулы преобразования (20). 3. Решение геометрических задач методом координат (20).
§ 6. Проективные преобразования плоскости……………. 21
1. Проективные преобразования в координатах {22). 2. Гомологии; геометрические приложения (22). 3. Задачи на построение (24). 4*. Свойства гомологии (продолжение) (25).
Глава II. Линии второго порядка на проективной плоскости …… 26
§ 7. Линии второго порядка ………….27
1. Определение линии второго порядка; уравнение линии (28). 2. Теоремы Паскаля и Бриан-шона; задачи на построение (29).
§ 8. Полюсы и поляры ……………… 30
1. Определение полюсов и поляр (31). 2. Точки и прямые, сопряженные относительно линии второго порядка (32). 3. Задачи на построение (34).
§ Проективное преобразование точек овальной линии второго порядка ….. 35
1*. Свойства проективных отображений овальной линии второго порядка (35). 2*. Задачи на построение (36).
Глава III. Аффинная геометрия с проективной точки зрения; приложения к элементарной геометрии……….. 38
§ 10. Геометрия плоскостей Р и Р*2………………. 38
1. Аффинные коллинеации (38). 2. Линии второго порядка на плоскости Р2 (41).
§ 11. Приложения проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии ………….. 42
1. Задачи на доказательство (43). 2. Геометрические построения, выполняемые одной линейкой (44).
§ 12*. Аффинные построения на проективной модели………… 45
1*. Простейшие построения (45). 2*. Задачи на построение с применением теорем Паскаля и Бриакшона для гиперболы и параболы (45). 3*. Задачи на построение с применением полярной теории линий второго порядка (47).
Глава IV. Евклидова геометрия с проективной точки зрения; приложения к элементарной геометрии ………… 48
§ 13. Геометрия плоскостей Pf и Р преобразования подобия……. 48
1. Преобразования подобия (48). 2. Биссекторы двух прямых (52).
§ 14. Окружности на плоскостях Р и длина отрезка ………. 53
I. Окружность (53). 2. Длина отрезка (55),
§ 15*. Фокусы линий второго порядка……………… 55
1*. Общая теория; фокусы центральных линий второго порядка (55). Фокальная теория параболы (57).
16, Движения с проективной точки зрения …………… 58
§ 17*. Приложение проективной геометрии к задачам на построение в евклидовой плоскости, выполняемые различными средствами……… 58
1*. Задачи на построение в плоскости Р (59). 2*. Геометрические построения одной линейкой (на плоскости дана вспомогательная фигура). (60)
Раздел второй. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. Методы изображений
Глава V. Методы геометрических построений на плоскости…….. 61
§ 18. Простейшие построения ……………. 61
§ 19. Применение свойств некоторых множеств точек к решению задач на построение ……….. 62
§ 20. Задачи на построение треугольников по различным элементам….. 64
§ 21. Геометрические построения с применением свойств параллельного переноса, поворота и симметрии………. 65
§ 22. Геометрические построения, выполняемые с применением свойств преобразований подобия ……… 67
§ 23. Геометрические построения с применением свойств инверсии. Задача Аполлония……….. 69
Глава VI. Теория геометрических построений…………. 70
§ 24. Алгебраический метод решения задач на построение………. 70
§ 25. Разрешимость задач на построение циркулем и линейкой……. 72
§ 26. Построения на плоскости ограниченными средствами……… 73
1. Геометрические построения, выполняемые с помощью угольника с прямым углом или линейки с параллельными краями (73). 2. Геометрические построения одним циркулем (73).
Глава VII. Геометрические построения в пространстве……… 74
§ 27. Задачи на отыскание множеств точек и прямых в пространстве …..74
§ 28. Простейшие построения ………….76
§ 29. Построения в пространстве с применением свойств некоторых множеств точек…………..77
§ 30. Построения в пространстве с применением свойств некоторых множеств точек (продолжение) ………..79
Глава VIII. Методы изображений………………. 80
§ 31. Изображение плоских фигур в параллельной проекции…….. 80
§ 32. Аксонометрия……………. 81
1. Позиционные задачи (81). 2. Метрические задачи (82).
§ 33. Ортогональные аксонометрические проекции ……….83
§ 34. Полные и неполные изображения……….84
§ 35. Метрическая определенность изображений ………..85
1.Изображение плоских фигур (85). 2. Изображение пространственных фигур (86).
§ 36. Метод Монжа…………… 87
§ 37. Линейная перспектива ……………. 88
Раздел третий. Основания геометрии. линии и поверхности в евклидовом пространстве. Элементы топологии
Глава IX. Основания геометрии…………. 89
§ 38. Интерпретации различных систем аксиом по Вейлю. Непротиворечивость и независимость ……….. 92
I. Интерпретации различных систем аксиом (91). 2. Непротиворечивость и независимость аксиоматики пространства ТЕ3 (93).
§ 39. Обоснование евклидовой геометрии по Вейлю………… 94
1. Скалярное произведение векторов; модуль вектора (94). 2. Свойства треугольников (95). 3. Некоторые теоремы стереометрии (95).
40. Интерпретации аксиом евклидовой геометрии й геометрии Лобачевского по Гильберту. Независимость аксиом ………96
1. Различные интерпретация (96). 2. Исследование аксиом Гильберта (98).
§ 41. Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского…………99
§ 42*. Задачи на построение на различных моделях плоскости Лобачевского …101
1*. Интерпретация Клейна (101). 2*. Общая интерпретация Пуанкаре (101). 3*. Частная интерпретация Пуанкаре (102),
Глава X. Кривые в евклидовом пространстве ………..102
§ 43. Понятие кривой; длина дуги………..102
1. Понятие пути; допустимые изменения параметра (103). 2. Уравнения кривой; регулярные кривые (104). 3. Длина дуги; естественная параметризация (107).
§ 44. Сопровождающий трехгранник кривой ………….107
I. Касательная к кривой; соприкасающаяся плоскость (107). 2. Сопровождающий трехгранник кривой (108).
§ 45. Кривизна и кручение кривой. Понятие о натуральных уравнениях …..111
§ 46. Плоские кривые ……………112
Глава XI. Поверхности в евклидовом пространстве. Элементы топологии ………..114
§ 47. Понятие простой поверхности; простейшие топологические свойства …..114
1. Регулярные параметрические представления и локальные системы координат (116).
2. Простые поверхности (118),
§ 48. Касательная плоскость и нормаль. Линии на поверхности…….118
1. Касательная плоскость и нормаль (118). 2. Линии на поверхности (120).
§ 49. Первая квадратичная форма. Длина дуги на поверхности…….120
§ 50. Угол между линиями на поверхности…………….122
§ 51. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма ……124
§ 52. Полная и средняя кривизны поверхности…………126
§ 53. Замечательные линии на поверхности…………….127
Глава XII. Элементы топологии ……………128
§ 54. Топологические пространства ………….128
I. Топологические пространства; открытые и замкнутые множества (129). 2. Замыкание множества; связные и компактные множества (131).
§ 55. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы …………132
I. Непрерывные отображения (132). 2. Гомеоморфизмы; топологически эквивалентные пространства (134). 3. Эйлерова характеристика поверхности (135).
Ответы и указания ………….136
Указатель применяемых символов и обозначений…..169
Список литературы …………172

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: