Базылев В. Т. и Дуничев К. И. Геометрия. Часть 2. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М., 1975.-367 с. с ил.
Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие является непосредственным продолжением книги «Геометрия, Ь В. Т. Базы-лева, К- И. Дуничева, В. П. Иваницкой. Оно написано на основе лекций, прочитанных авторами на математическом факультете Московского областного педагогического института им. Н. К, Крупской, и вместе с I частью охватывает весь материал, предусмотренный программой по геометрии для педагогических институтов.
Геометрия проективного пространства дана в векторном изложении. Это делает более осязаемой схему Вейля построения геометрий классических пространств на векторной основе. В главе «Методы изображений» существенно используются основные факты проективной геометрии.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................3
Раздел 3. Проективное пространство. Методы изображений
Глава I. Проективное пространство
§ 1. Понятие проективного пространства....................................8
§ 2. Проективные координаты................................................II
§ 3. Перспективное отображение прямой в пучок прямых. Расширенная
прямая....................................................................14
§ 4. Перспективное отображение плоскости в связку прямых. Расширенная плоскость.......16
§ 5. Уравнение прямой на проективной плоскости. Координаты прямой 20
§ 6. Преобразование проективных координат..............................22
§ 7. Простейшие свойства проективной плоскости и трехмерного проективного пространства.......23
§ 8. Принцип двойственности. Теорема Дезарга............................25
§ 9. Проективные отображения и проективные преобразования. Группа
проективных преобразований. Предмет проективной геометрии ... 30
§ 10. Перспективные отображения............................................37
Задачи и теоремы к главе I ..................................................41
Глава II. Основные факты проективной геометрии
§ 11. Двойное (сложное) отношение..........................................44
§ 12. Гармонические четверки. Полный четырехвершинник..................49
§ 13. Проективные преобразования прямой..................................51
§ 14. Проективные преобразования плоскости..............................54
§ 15. Кривые второго порядка на проективной плоскости....................57
§ 16. Полюс и поляра. Поляритет............................................60
§ 17. Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости 62
§ 18. Мнимые элементы проективной плоскости............................65
§ 19. Конструктивные теоремы и задачи теории овальных кривых второго
порядка ..................................66
§20. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой . . . 74
§ 21. Евклидова геометрия с проективной точки зрения..................79
§ 22. Задачи школьного курса геометрии на расширенной плоскости .... 86
Задачи и теоремы к главе II..................................................90
Глава III. Геометрические построения на плоскости
§ 23. Система аксиом построения с помощью циркуля и линейки. Основные
задачи на построение в школьном курсе геометрии......................92
§ 24. Различные методы геометрических построений на плоскости..........99
§ 25. Алгебраический метод....................................................105
§ 26. Примеры задач на построение, не разрешимых циркулем и линейкой.
Понятие о решении задач на построение иными средствами............110
Задачи и теоремы к главе III................................................115
Глава IV. Методы изображений
§ 27. Центральное проектирование............................................117
§ 28. Параллельное проектирование..........................................119
§ 29. Изображение плоских и пространственных фигур с помощью параллельного проектирования ....121
§ 30. Понятие о методе Мошка................................................133
§ 31. Аксонометрия. Теорема Польке—Шварца..............................136
§ 32. Изображение точек, прямых и плоскостей . . . . ...................142
§ 33. Позиционные задачи. Полные и неполные изображения................144
§ 34. Метрические задачи......................................................148
§ 35. Изображения в центральной проекции. Перспектива..................156
§ 36. Основные задачи в центральной проекции............................159
Задачи и теоремы к главе IV....................................161
Раздел 4. Основания геометрии
Глава I. Общие вопросы аксиоматики
§ 1. Понятие о математической структуре....................................164
§ 2. Интерпретации системы аксиом (модели)................................166
§ 3. Изоморфизм структур....................................................168
§ 4. Требования, предъявляемые к системе аксиом..........................—
Задачи и теоремы к главе 1....................................................172
Глава II. Обоснование евклидовой геометрии по Вейлю
§ 5. Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля трехмерного
евклидова пространства..................................................173
§ 6. Определение прямых, плоскостей, отрезков, лучей, углов....... 175
§ 7. Доказательство некоторых теорем планиметрии..........................180
§ 8. Примеры доказательства теорем стереометрии..........................191
Задачи и теоремы к главе II..................................................192
Глава III. Исторический обзор обоснования геометрии
§ 9. Геометрия до Евклида ..................................................193
§ 10. "Начала" Евклида. Критика системы Евклида. V постулат ...........195
§ 11. Система аксиом Гильберта (обзор)............................200
§ 12 Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского..................205
Задачи и теоремы к главе III .............................................210
Глава IV. Длина, площадь, объем
§ 13. Длина отрезка. Теорема существования и единственности ....... 211
§ 14. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности 215
§ 15. Равновеликость и равносоставленность многоугольников..............220
§ 16. Класс квадрируемых фигур . .........................................221
§ 17. Теория объемов (обзор) ...............................................223
§ 18. О величинах..............................................................226
§ 19. Об аксиомах школьного курса геометрии . ,..........................230
Задачи и теоремы к главе IV..................................................233
Глава V. Неевклидовы геометрии
§ 20. Элементы сферической геометрии .................................235
§ 21. Эллиптическая геометрия Римана в схеме Вейля........................242
§ 22. Гиперболическая геометрия Лобачевского в схеме Вейля..............246
§ 23. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского..........256
§ 24. Свойства расходящихся прямых........................................258
§ 25. Угол параллельности....................................................259
§ 26. Окружность, эквидистанта и орицикл ................................263
§ 27. Понятие о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве
Лобачевского А3. Понятие об орисфере и ее геометрии..................267
§ 28. Независимость аксиомы параллельности V от остальных аксиом системы евклидовой плоскости......268
Задачи и теоремы к главе V . . .........................................274
Раздел 5. Элементы топологии. Линии и поверхности в евклидовом пространстве
Глава I. Элементы топологии
§ 1. Топологические пространства .........................................276
§ 2. Непрерывность и гомеоморфизм..........................................282
§ 3. Отделимость. Компактность. Связность..................................287
§ 4. Граница множества ...................................................289
§ 5. Метрические пространства . .............................................290
§ 6. Многообразия..............................................................293
§ 7. Двумерные замкнутые многообразия. Двумерные компактные многообразия с краем.....295
§ 8. Теорема Эйлера для многогранников....................................300
§ 9. Топологические свойства проективной плоскости......................301
Задачи и теоремы к главе I ..................................................303
Глава II. Линии в евклидовом пространстве
§ 10. Векторная функция скалярного аргумента............................305
§ 11. Понятие линии. Гладкие кривые в £3................................306
§ 12. Касательная. Длина дуги .............................................310
§ 13. Кривизна и кручение кривой. Понятие о натуральных уравнениях 314
§ 14. О плоских кривых......................................................318
Задачи и теоремы к главе II . ...............................................321
Глава III. Поверхности в евклидовом пространстве
§ 15. Понятие поверхности....................................................322
§ 16. Касательная плоскость и нормаль......................................326
§ 17. Первая квадратичная форма поверхности..............................329
§ 18. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности ...332
§ 19. Главные кривизны. Полная и средняя кривизны поверхности..........334
Задачи и теоремы к главе III................................340
Глава IV. Внутренняя геометрия поверхности
§ 20. Предмет внутренней геометрии поверхности. Теорема Гаусса..........341
§ 21. Изометричные поверхности. Изгибание поверхности..................344
§ 22. Геодезические линии....................................................347
§ 23. Дефект геодезического треугольника. Реализация в малом геометрии
Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны 349
§ 24. Выражение эйлеровой характеристики гладкой ориентируемой
замкнутой поверхности..................................................350
Задачи и теоремы к главе IV.................................................352
