Бакельман И. Я. Высшая геометрия. (Учеб. пособие для пед. ин-тов). М., 1967. -368 с.
В книге изложены вопросы аксиоматики геометрии, афинная и проективная геометрия, элементы дифференциальной геометрии и необходимые сведения из топологии.
Краткий и четкий язык изложения, достаточное число иллюстраций делают эту книгу полезным и доступным пособием для студентов как очных, так й заочных педагогических институтов.
Содержание
Предисловие ..........................................6
Глава 1. Аксиоматическое построение геометрий Евклида и Лобачевского ......9
§ 1. Аксиоматический метод ..............................9
§ 2. «Начала» Евклида ....................................11
§ 3. Проблема пятого постулата ............................14
§ 4. Аксиомы связи ......................................20
§ 5. Аксиомы порядка ....................................23
§ 6. Угол, ломаная, многоугольник. Теорема Жордана ... 30
§ 7. Аксиомы конгруэнтности ............. . 31
§ 8. Следствия из аксиом связи, порядка и конгруэнтности . . 33
§ 9. Группа преобразований множества ....................38
§ 10. Движения. Конгруэнтные фигуры ..................45
§ 11. Аксиомы непрерывности. Измерение длин отрезков ... 49
§ 12. Система координат на прямой, на плоскости и в пространстве ..............62
§ 13. Принцип Дедекинда ........63
§ 14. Абсолютная геометрия ..............................67
§ 15. Аксиома параллельности Евклида. Евклидова геометрия . 67
§ 16. Аксиома параллельности Лобачевского. Параллельные
прямые на плоскости Лобачевского ..........74
§ 17. Взаимное расположение расходящихся и параллельных прямых 78
§ 18. Угол параллельности ..............................83
§ 19. Эквидистанты ......................................84
§ 20. Требования, предъявляемые к системе аксиом.......87
§ 21. Непротиворечивость и полнота системы аксиом плоской евклидовой геометрии .............89
§ 22. О тематике практических занятий ...............93
Глава II. Аффинные преобразования ............................95
§ 1. Определение аффинного преобразования ................95
§ 2. Линейные преобразования. Координатное представление линейного и аффинного преобразований ......98
§ 3. Группа аффинных преобразований ......................114
§ 4. Некоторые свойства аффинных преобразований ............116
§ 5. Основные теоремы теории аффинных преобразований ... 121
§ 6. Аффинная геометрия ..................................129
§ 7. Ортогональные преобразования. Евклидова геометрия ... 138
§ 8. К вопросу об аксиоматике аффинной и евклидовой геометрий. 150
Глава III. Проективные преобразования ........................153
§ 1. Центральная проекция ................................153
§ 2. Бесконечно удаленные элементы евклидова пространства.
Проективное пространство ........................155
§ 3. Интерпретация проективной прямой и проективной плоскости
в связке прямых ......................................158
§ 4. Принцип двойственности ................................165
§ 5. Сложное отношение четырех точек проективной прямой . . . 167
§ 6. Проективные преобразования проективной прямой .... 187
§ 7. Инволюции ..........................................196
§ 8. Неподвижные точки проективных преобразований прямой и
их связь с инволюциями ................................199
§ 9. Проективные преобразования плоскости ...........205
§ 10. Группа проективных преобразований проективной плоскости 218
§ 11. Линии второго порядка. Полярные преобразования..........221
§ 12. Теоретико-групповые принципы геометрии ..............234
Глава IV. Основы теории кривых ................................241
§ 1. Векторные функции скалярного аргумента ................241
§ 2. Путь ..................................................246
§ 3. Кривая ..............................................250
§ 4. Касательная ..........................................251
§ 5. Длина пути ..........................................253
§ 6. Длина кривой ........................................256
§ 7. Естественный параметр кривой ..........................258
§ 8. Касательная как прямая наилучшего локального приближения кривой .......260
§ 9. Кривизна и главная нормаль .............. 262
§ 10. Соприкасающаяся плоскость ..........................271
§11. Кручение ............................................274
§ 12. Формулы Френе ......................................277
§ 13. Натуральные уравнения ..............................278
Задачи и упражнения к главе IV....................279
Глава V. Основы теории поверхностей ............................283
§ 1. Понятие поверхности ........................283
§ 2. Гладкие и регулярные поверхности ......................290
§ 3. Внутренние координаты на поверхности ..................293
§ 4. Кривые на регулярной поверхности ......................295
§ 5. Касательная плоскость ................................298
§ 6. Первая квадратичная форма поверхности, измерение длин
кривых и углов между ними на поверхности ..............302
§ 7. Площадь поверхности ..................................307
§ 8. Вторая квадратичная форма поверхности ................308
§ 9. Кривизна кривой на поверхности .............309
§ 10. Классификация точек поверхности. Главные направления.
Средняя и гауссова кривизны ............................311
§11. Теорема Эйлера. Экстремальные свойства главных направлений ..................................................316
§ 12. Нахождение главных направлений. Формулы для гауссовой
и средней кривизны ....................................317
§ 13. Линии кривизны. Теорема Родрига ......... . 320
§ 14. Сферическое изображение поверхности ..................323
Задачи и упражнения к главе V ..............324
Глава VI. Внутренняя геометрия поверхности ....................328
§ 1. Изометричные поверхности. Изгибание поверхности .... 328
§ 2. Внутренняя геометрия поверхности ......................351
§ 3. Формула для гауссовой кривизны ........................331
§ 4. Деривационные формулы ..............................334
§ 5. Геодезическая кривизна кривой на поверхности ..........336
§ 6. Геодезические линии ..................................338
§ 7. Полугеодезическая система координат на поверхности. Экстремальное свойство геодезической........341
§ 8. Формула Гаусса—Бонне ................................344
§ 9. Поверхности постоянной гауссовой кривизны ..........346
§ 10. Простейшие поверхности постоянной гауссовой кривизны. 348
§ 11. Многообразия с дифференциальной метрикой ............352
§ 12. О регулярном погружении в пространство плоскости Лобачевского ....355
Задачи и упражнения к главе VI ..............355
Глава VII. Элементы топологии замкнутых поверхностей ..........357
§ 1. Простейшие замкнутые поверхности ....................357
§ 2. Ориентируемые и неориентируемые замкнутые поверхности. 360
§ 3. Основные теоремы топологии замкнутых поверхностей . . . 362
