Бахвалов С. В., Иваницкая В. П. Основания геометрии (главы высшей геометрии), ч. I. Учебное пособие для вузов. М., 1972.- 280 с.
В книге на основании систем аксиом Гильберта дается подробное обоснование многих понятии геометрии, изучаемых в средней школе.
Материал некоторых параграфов выходит за рамки программы и может быть использован для спецкурсов, спецсеминаров по геометрии и курсовых работ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение......................... 8
Глава первая. Краткий обзор возникновения аксиоматического метода построения геометрии...... . 11
§ 1. Происхождение аксиом.............11
§ 2. Накопление геометрических знаний на Востоке 12
§ 3. Возникновение аксиоматического метода изложения геометрии в Греции............14
§ 4. «Начала» Евклида...............16
§ 5. Комментарии «Начал» Евклида.........21
§ 6. Исследования Лежандра, Саккери, Ламберта . 28
Глава вторая. Аксиомы соединения, порядка, конгруэнтности системы аксиом Гильберта и их следствия 38
§ 7. Новый этап в развитии аксиоматического метода 38
§ 8. Первая группа аксиом — аксиомы соединения. Интерпретации ............42
§ 9. Вторая группа аксиом — аксиомы порядка . . 49
§ 10. Полуплоскость.................67
§ 11. Одномерные и двумерные углы........71
§ 12. Ориентированные углы.............76
§ 13. Обобщение понятия двумерного угла......84
§ 14. Многоугольник.................85
§ 15. Двугранный угол................91
§ 16. Третья группа аксиом — аксиомы конгруэнтности
и следствия...................94
§ 17. Сравнение двухвершинников и одномерных углов 106
§ 18. Прямой угол..................113
§ 19. Теорема о середине двухвершинника......118
§ 20. Некоторые соотношения между элементами треугольника ...................120
§ 21. Сложение и вычитание двухвершинников . . . .122
Глава третья. Группы преобразований плоскости . . 130
§ 22. Преобразования множества...........130
§ 23. Группа.....................131
§ 24. Группа преобразований множества.......132
§ 25. Групповые принципы в геометрии........134
§ 26. Конгруэнтные преобразования.........135
§ 27. Равенство фигур................143
§28. Неподвижные точки конгруэнтного преобразования 145
§ 29. Неподвижные прямые конгруэнтного преобразования .....................150
§ 30. Сравнение углов. Сложение углов...... . . 154
Глава четвертая. Аксиомы непрерывности, параллельности и следствия из них 158
§ 31. Аксиомы непрерывности ...... 158
§ 32. Теоремы Саккери—Лежандра..........169
§ 33. Пятая группа аксиом — аксиома параллельности 179
Глава пятая. Измерение геометрических величин 185
§ 34. Измерение отрезков..................185
§ 35. Отношение отрезков...............194
§ 36. Равносоставленные многоугольники.......197
§ 37. Площадь простого многоугольника.......215
Глава шестая. Элементы векторной алгебры 221
§ 38. Одинаково и противоположно ориентированные
лучи......................221
§ 39. Направленные отрезки. Равенство направленных
отрезков....................227
§ 40. Сложение направленных отрезков.......232
§ 41. Умножение направленного отрезка на число . . 235
§ 42. Линейная зависимость направленных отрезков , 239
§ 43. Системы координат...............244
§ 44. Проекция направленного отрезка........246
§ 45. Скалярное произведение направленных отрезков 248 § 46. Векторы и операции над векторами.....252
Глава седьмая. Общие вопросы аксиоматики геометрии ......................254
§ 47. Требования, предъявляемые к системе аксиом . 254
§ 48. Непротиворечивость системы аксиом Гильберта 258
§ 49. Полнота системы аксиом Гильберта.......272
§ 50. Независимость некоторых аксиом системы аксиом Гильберта....................273
Литература........................278
