Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М., 1979. —559 с, ил.
В книге систематически изложены элементы логики, множества и отношения, алгебры и алгебраические системы, основные числовые системы, основы линейной алгебры, включающие системы линейных неравенств, группы, теоретико-числовые темы, кольца и кольца полиномов, полиномы над основными числовыми полями и элементы теории полей.
Предназначается для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............ . . . .............. 3
Глава первая Элементы логики
§ 1. Логика высказываний................. . . . . 5
Высказывания (5). Логические операции над высказываниями (5). Формулы логики высказываний (8). Законы логики (10). Упражнения (14).
§ 2. Логическое следствие..................... 14
Основные определения (14). Схемы доказательств (18). Косвенное доказательство (19). Упражнения (21).
§ 3. Предикаты........................... 22
Свободные переменные (22). Предикаты (22). Операции над предикатами (24). Логическое следствие. Равносильные предикаты (25). Упражнения (27).
§ 4. Кванторы . ..................................28
Квантор общности (28). Квантор существования (28). Запись высказываний на языке логики предикатов (31). Упражнения (32).
§ 5. Предикатные формулы. Законы логики ........... 33
Элементарные формулы (33). Предикатные формулы (34). Законы логики предикатов (35). Упражнения (37).
Глава вторая Множества и отношения
§ 1. Множества ....................... . . . , 39
Понятие множества (39). Подмножества (40). Пустое множество (41). Операции над множествами (41). Основные свойства операций над множествами (43). Универсальное множество. Дополнение мно^ жества (44). Диаграммы Эйлера — Венна (45). Упражнения (47).
§ 2. Бинарные отношения 48
прямое произведение множества (48). Бинарные отношения (49). п-местные отношения (52). Представление бинарных отношений графами (52). Упражнения (53)
§ 3. Функции............................ 54
Понятие функции (отображения) (54). Композиция функций (56). Инъективные функции (59). Обратимые функции (60). Ограничение функции (63). Упражнения (64).
§ 4. Отношение эквивалентности..........................65
Некоторые виды бинарных отношений (65). Отношение эквивалентности (67). Фактор-множество (68). Отношение равнообразности отображения (69). Упражнения (70).
§ 5. Отношения порядка ........ , ...................71
Отношения порядка (71). Линейный порядок (72). Упорядоченное множество (72). Упражнения (73).
Глава третья Алгебры и алгебраические системы
§ 1. Бинарные операции...................... 75
Бинарные и п-местные операций (75). Виды бинарных операций (76). Нейтральные элементы (77), Регулярные элементы (77), Симметричные элементы (78). Подмножества, замкнутые относительно операций (80). Аддитивная и мультипликативная формы записи (80). Конгруэнция (81). Упражнения (82).
§ 2. Алгебры............................. 82
Понятие алгебры (82). Гомоморфизмы алгебры (84). Подалгебры (87). Фактор-алгебра (91). Упражнения (93).
§ 3. Группы............................. 94
Понятие группы (94). Примеры групп (95). Простейшие свойства группы (97). Гомоморфизмы групп (98). Подгруппы (100). Упражнения (103).
§ 4. Кольца............................. 104
Понятие кольца (104). Простейшие свойства кольца (106). Гомоморфизм колец (107). Подкольца (109). Упражнения (112).
§ 5. Алгебраические системы.................... 112
Понятие алгебраической системы (112). Изоморфизмы алгебраических систем (114). Подсистемы (114). Упражнения (116).
Глава четвертая Основные числовые системы
§ 1. Система натуральных чисел 117
Алфавит и слова (117). Слова в однобуквенном алфавите (118). Система натуральных чисел (119). Принцип математической индукции (121). Упражнения (122).
§ 2. Свойства сложения и умножения натуральных чисел . . , . 122
Свойства сложения (122). Свойства умножения (128). Упражнения (131).
§ 3. Отношение порядка на множестве натуральных чисел ... 131
Отношение порядка (131). Полная упорядоченность множества натуральных чисел (133). Упражнения (134).
§ 4. Кольцо целых чисел...................... 135
Аддитивная группа целых чисел (135). Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел (138). Кольцо целых чисел (139). Теорема о делении с остатком (141). Отношение делимости в кольце целых чисел (143)» Упражнения (144).
§ 5. Поля. Поле рациональных чисел............... 146
Понятие поля (146). Простейшие свойства поля (146). Поле рациональных чисел (148), Упражнения (149)
§ 6. Система действительных чисел................ 150
Упорядоченные поля (150), Система действительных чисел (152). Построение системы действительных чисел (154). Упражнения (156).
§ 7. Поле комплексных чисел ................... 157
Комплексное расширение поля (157). Поле комплексных чисел (161). Сопряженные комплексные числа (163). Модуль комплексного числа (163), Геометрическое представление комплексных чисел (164). Упражнения (165).
§ 8. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корней из комплексных чисел , , - .......... . 166
Тригонометрическая форма комплексного числа (166). Корни «-й степени из единицы (169). Корни п-й степени из произвольного комплексного числа (171). Упражнения (172).
Глава пятая
Арифметические векторные пространства и системы линейных упражнений
§ 1. Арифметические векторные пространства........ . 174
Арифметическое «-мерное векторное пространство (174). Линейная зависимость и независимость системы векторов (176). Эквивалентные системы векторов (180). Базис конечной системы векторов (182). Ранг конечной системы векторов (183). Упражнения (184).
§ 2. Системы линейных уравнений................. 185
Следствия системы линейных уравнений (185). Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы (186). Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы (188). Критерий совместности системы линейных уравнений (191). Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы (193). Теоремы о следствиях системы линейных уравнений (195). Упражнения (197).
§ 3. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений , , . 198
Ступенчатые матрицы (198). Приведенные ступенчатые матрицы (201). Однородные системы линейных уравнений (203). Фундаментальная система решений (204). Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных (206). Упражнения (209).
Глава шестая Матрицы и определители § 1. Операции над матрицами и их свойства . . . ....... 210
Операции над матрицами (210). Транспонирование произведения матриц (213). Упражнения (214).
§ 2. Обратимые матрицы ...................... 215
Обратимые матрицы (215). Элементарные матрицы (216). Условия обратимости матрицы (218). Вычисление обратной матрицы (219). Запись и решение системы п линейных уравнений с n переменными в матричной форме (220). Упражнения (221).
§ 3. Подстановки.......................... 221
Подстановки. Группа подстановок (221). Четные и нечетные подстановки (223). Знак подстановки (224). Упражнения (225).
§ 4. Определители.......................... 226
Определитель квадратной матрицы (226). Основные свойства определителей (227). Упражнения (231).
§ 5. Миноры И алгебраические дополнения. Теоремы об определителях ............................ 232
Миноры и алгебраические дополнения (232). Разложение определителя по строке или столбцу (235). Определитель произведения матриц (237). Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя (238). Упражнения (239).
§ 6. Теоремы о матрицах. Правило Крамера........... 239
Теорема о ранге матрицы (239). Обратная матрица (240). Правило Крамера (241). Условия, при которых система п линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения (242). Упражнения (243.)
Глава седьмая Векторные пространства
§ 1. Векторные пространства.................... 245
Понятие векторного пространства (245). Простейшие свойства векторных пространств (247). Линейная зависимость и независимость системы векторов (247). Упражнения (248).
§ 2. Подпространства векторного пространства.......... 250
Подпространство (250). Линейная оболочка множества векторов (250). Сумма подпространств (251). Линейные многообразия (253). Упражнения (255).
§ 3. Базис И размерность векторного пространства....... 256
Базис векторного пространства (256). Дополнение независимой системы векторов до базиса (258). Размерность векторного пространства (260). Упражнения (263).
§ 4. Изоморфизмы векторных пространств............ 265
Координатная строка вектора относительно данного базиса (265). Изоморфизм векторных пространств (266). Упражнения (269).
§ 5. Векторные пространства со скалярным умножением .... 270
Скалярное умножение в векторном пространстве (270). Ортогональная система векторов (271). Процесс ортогонализации (272). Ортогональное дополнение к подпространству (273). Упражнения (275).
§ 6. Евклидовы векторные пространства.......... 276
Евклидово векторное пространство (276). Норма вектора (277). Орто-нормированный базис евклидова пространства (278). Изоморфизмы евклидовых пространств (280). Упражнения (282).
Часть 1
Глава восьмая Линейные операторы
§ 1. Линейные отображения .................283
Линейные отображения и операторы (283). Ядро и образ линейного оператора (286). Операции над линейными отображениями (287). Упражнения (288).
§ 2. Представление линейных операторов матрицами...... 289
Матрица линейного оператора (289). Связь между координатными столбцами векторов х и ф(д:) (291). Ранг линейного оператора (294). Связь между координатными столбцами вектора относительно раз^ личных базисов (295). Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов (296). Упралінения (297).
§ 3. Линейные алгебры . .................... 298
Линейная алгебра (298). Алгебра линейных операторов векторного пространства (300). Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры (301). Упражнения (302).
§ 4. Обратимые операторы..................... 303
Обратимые операторы (303). Полная линейная группа (305). Упражнения (306).
§ 5. Собственные векторы и собственные значения. Характеристические уравнения...................... 307
Собственные векторы и собственные значения (307). Нахождение собственных векторов линейного оператора (308). Характеристическое уравнение (309). Линейные операторы с простым спектром (311). Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице (313). Упражнения (315).
Глава девятая Системы линейных неравенств
§ 1. Системы линейных неравенств................ 317
Основные понятия (317). Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы (318). Следствия однородной системы линейных неравенств (319). Теорема Минковского (321). Критерий несовместимости системы линейных неравенств (323). Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств (325). Упражнения (326).
§ 2. Стандартные и канонические задачи линейного программирования. Теоремы двойственности.............. 327
Стандартные и канонические задачи (327). Допустимые и оптимальные векторы (328). Теоремы двойственности для стандартных задач (330). Теорема двойственности для канонических задач (333). Теорема равновесия (334). Упражнения (335).
§ 3. Симплекс-метод......... .......................335
Симплекс-метод (335). Упражнения (344).
Глава десятая Группы
§ 1. Полугруппы и моноиды .................... 346
Полугруппы (346). Моноиды (346). Обобщенный закон ассоциативности (347). Упражнения (349).
§ 2. Подгруппы и смежные классы................ 350
Подгруппы (350). Смежные классы (351). Теорема Лагранжа (353). Упражнения (353)
§ 3. Циклические группы..............................354
Порядок элемента группы (354). Циклические группы (355). Подгруппы циклической группы (357). Упражнения (358).
§ 4. Нормальные делители и фактор-группы.......... 353
Нормальные делители группы (358). Фактор-группа (359). Лдро гомоморфизма (361). Теорема о гомоморфизмах (362), Упражнения (362).
Глава одиннадцатая
Теория делимости в кольце целых чисел
§ 1. Разложение целых чисел на простые множители ...... 364
Идеалы кольца целых чисел (364). Простые числа (365). Разложение целых чисел на простые множители (365). Делители целого числа (367). Число и сумма натуральных делителей числа (368). Бесконечность множества простых чисел (369). Решето Эратосфена (370). Упражнения (371).
§ 2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 372
Наибольший общий делитель (372). Взаимно простые числа (375). Наименьшее общее кратное (376). Упражнения (379).
§ 3. Алгоритм Евклида и конечные цепные дроби........ 379
Алгоритм Евклида (379). Конечные цепные дроби (380). Подходящие дроби (382). Упражнения (385).
§ 4. Целые систематические числа................. 385
Целые систематические числа (385). Арифметические операции над целыми систематическими числами (387). Перевод чисел из одной системы счисления в Другую (388). Упражнения (389).
§ 5. Распределение простых чисел................. 389
Распределение простых чисел (389). функции Т {х) ^ А {х) (390). Неравенства для функции Т {х) (391). Неравенства Чебышева (392). Простые числа в арифметических прогрессиях (394). Упражнения (396).
Глава двенадцатая
Теория сравнений с арифметическими положениями
§ 1. Сравнения и их свойства..............397
Сравнения в кольце целых чисел (397). Простейшие свойства сравнений (398). Упражнения (399).
§ 2. Полная система вычетов . . .............. . . 399
Полная система вычетов (399). Аддитивная группа классов вычетов (400), Кольцо классов вычетов (401). Упражнения (402).
§ 3. Приведенная система вычетов................. 402
приведенная система вычетов (402). Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем (404). Функция Эйлера (406). Теоремы Эйлера и Ферма (408). Упражнения (408).
§ 4. Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по
простому модулю ........................ 409
Степень и число решений сравнения (409). Сравнения первой степени (409). Сравнения высших степеней по простому модулю (411). Упражнения (413).
§ 5. Первообразные корни и индексы............... 413
Порядок числа и класса вычетов по модулю (413). Первообразные корни по простому модулю (415). Индексы по простому модулю (416). Двучленные сравнения (418). Упражнения (420).
§ 6. Обращение обыкновенной дроби в систематическую и определение длины периода систематической дроби 421 Упражнения (428).
Глава тринадцатая Кольца
§ 1. Идеалы кольца. Фактор-кольцо................ 430
Идеалы кольца (430). Сравнения и классы вычетов по идеалу (432). Фактор-кольцо (433). Теорема об эпиморфизмах колец (434). Характеристика кольца (436). Наименьшее подкольцо кольца (437). Упражнения (438).
§ 2. Поле частных области целостности.............. 439
Поле частных области целостности (439). Изоморфизм полей частных (443). Упражнения (445).
§ 3. Кольца главных идеалов 445
Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце (445). Простые и составные элементы области целостности (446). Кольца главных идеалов (448). Факториальность кольца главных идеалов (449). Евклидовы кольца (451). Упражнения (452).
§ 4. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное 453
Наибольший общий делитель (453). Наименьшее общее кратное (455). Упражнения (458).
Глава четырнадцатая Полиномы от одной переменной
§ I. Кольцо полиномов ................ . . . » ... 459
Простое трансцендентное расширение кольца (459). Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца (461). Степень полинома (465). Деление полинома на двучлен и корни полинома (466). Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности (467). Алгебраическое и функциональное равенства полиномов (468). Упражнения (469).
§ 2. Полиномы над полем ..................... 469
Теорема о делении с остатком (469). Алгоритм Евклида (470). Неприводимые над данным полем полиномы (471). Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей (473). Упражнения (474).
§ 3. Факториальность кольца полиномов над факториальным кольцом ........ 475
Примитивные полиномы (475). Факториальность кольца полиномов (478). Упражнения (479).
§ 4. Формальная производная полинома. Неприводимые кратные множители , . . . ..................... 479
Формальная производная полинома (479). Разложение полинома по степеням разности х—с (481). Неприводимые кратные множители полинома (482). Кратные корни полинома (483). Упражнения (484).
Глава пятнадцатая Полиномы от нескольких переменных
§ 1. Кольцо полиномов от нескольких переменных....... . 485
Кратное расширение кольца (485). Кольцо полиномов от нескольких переменных (486). Изоморфизм колец полиномов (489). Нормальное представление полинома и степень полинома (490). Факториальность кольца полиномов (492). Упражнения (493).
§ 2. Симметрические полиномы................... 493
Лексикографическое упорядочение членов полинома (493). Лемма о высшем члене произведения двух полиномов (494). Симметрические полиномы (495). Леммы о симметрических полиномах (496). Основная теорема о симметрических полиномах (498). Упражнения (500).
§ 3. Результант полиномов и исключение переменных...... 500
Результант двух полиномов (500). Исключение переменных (502). Упражнения (504).
Глава шестнадцатая
Полиномы над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел
§ 1. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел ...... 505
Теорема о возрастании модуля полинома (505). Непрерывность модуля полинома (506). Наименьшее значение модуля полинома (507). Лемма Даламбера (509), Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (510). Формулы Виета (512). Упражнения (512).
§ 2. Полиномы над шлем действительных чисел ............. 513
Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами (513). Неприводимые над полем действительных чисел полиномы (513). Упражнения (514).
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени........... 515
уравнения третьей степени (515). Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами (518). Уравнения четвертой степени (520). Упражнения (521).
§ 4. Отделение действительных корней полинома........ 521
Система полиномов Штурма (521). Теорема Штурма (522). Упражнения (525).
Глава семнадцатая
Полиномы над полем рациональных чисел и алгебраические числа
§ 1. Целые и рациональные корни полинома. Критерий неприводимости ..........................с . 526
Целые и рациональные корни полинома (526). Критерий неприводимости Эйзенштейна (526). Упражнения (528).
§ 2. Простое алгебраическое расширение поля 528
простое расширение поля (528). Минимальный полином алгебраического элемента (529). Строение простого алгебраического расширения поля (531). Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби (532). Упражнения (532).
§ 3. Составное алгебраическое расширение поля . ........ 532
Конечное расширение поля (532). Составное алгебраическое расширение поля (533). Простота составного алгебраического расширения поля (535). Поле алгебраических чисел (536). Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел (537). Упражнения (538).
§ 4. Условия разрешимости уравнения третьей степени в квадратных радикалах ............538
Понятие разрешимости уравнения в квадратных радикалах (538). Условия разрешимости уравнения третьей степени в квадратных радикалах (539). Примеры задач, неразрешимых в квадратных радикалах (541). Упражнения (543).
Литература......................... . . . 544
Предметный указатель . . . ........... . ....... 545
Часть 2
