Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии: Учеб. пособие / А. А. Бурдун, Е. А. Мурашко, М. М. Толкачев, А. С. Феденко; Под ред. А. С. Феденко.— 2-е изд.— Мн., 1999.—302 с.
Содержатся задачи по следующим темам: «Множества и отображения», «Матрицы и определители», «Группа, кольцо, поле», «Многочлены», «Векторы и координаты», «Прямые и плоскости», «Фигуры второго порядка», «Линейные пространства», «Системы линейных уравнений», «Линейные операторы», «Линейные и билинейные функции, квадратичные формы», «Евклидовы и унитарные пространства», «Аффинное пространство», «Точечное эвклидово пространство», «Проективное пространство».
Предназначен для студентов математических и физических специальностей университетов, а также может быть использован студентами технических специальностей высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ..................5
Глава 1. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ ......6
1.1. Операции над множествами............6
1.2. Отображения ....................................8
1.3. Умножение отображений. Обратное отображение .... 11
1.4. Перестановки. Подстановки............12
1.5. Комплексные числа...............15
Глава 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.......23
2.1. Сложение и умножение матриц ..........23
2.2. Определители .................28
2.3. Обратная матрица ...............35
Глава 3. ГРУППА. КОЛЬЦО. ПОЛЕ.........39
3.1. Бинарная алгебраическая операция.........39
3.2. Группа. Подгруппа. Изоморфизм групп .......41
3.3. Смежные классы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Факторгруппа. Гомоморфизм групп .......49
3.4. Кольцо. Поле .................54
3.5. Идеал кольца. Факторкольцо. Гомоморфизм кольца ... 59
Глава 4. МНОГОЧЛЕНЫ .............66
4.1. Сложение и умножение многочленов. НОД и НОК многочленов ....................66
4.2. Корни многочленов ...............70
4.3. Неприводимость многочленов. Многочлены над С, R и Q 76
4.4. Многочлены от нескольких переменных .......81
Глава 5. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ .......84
5.1. Понятие вектора. Сложение векторов. Умножение вектора
на число ...................84
5.2. Координаты вектора. Проекции ..........90
5.3. Скалярное произведение векторов .........94
5.4. Векторное произведение векторов .......... 97
5.5. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение векторов ...............100
5.6. Аффинные и прямоугольные координаты.......102
5.7. Криволинейные координаты............105
5.8. Преобразование координат ............108
Глава 6. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.........111
6.1. Прямая на плоскости ..............111
6.2. Плоскость в пространстве ............120
6.3. Прямая в пространстве .............125
6.4. Плоскости и прямые в пространстве ........128
Глава 7. ФИГУРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА.......132
7.1. Окружность..................133
7.2. Эллипс....................134
7.3. Гипербола ..................135
7.4. Парабола...................138
7.5. Полярное уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы...................139
7.6. Общее уравнение плоской фигуры второго порядка . . . 140
7.7. Цилиндры и конус второго порядка.........142
7.8. Эллипсоид ..................145
7.9. Гиперболоиды и параболоиды .......... . 148
Глава 8. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА .......151
8.1. Определение линейного пространства ........151
8.2. Линейная зависимость векторов .............153
8.3. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора ...................156
8.4. Ранг матрицы .................159
8.5. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка ......164
Глава 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ .... 169
9.1. Общие понятия. Метод Гаусса...........169
9.2. Правило Крамера ................172
9.3. Критерий совместности линейной системы ......173
9.4. Однородные линейные системы. Фундаментальная система решений ...................175
Глава 10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ .....' . . . 178
10.1 Линейный оператор и его матрица. Подобные матрицы . . 178
10.2. Ядро и образ линейного оператора .........184
10.3. Собственные векторы линейного оператора ......186
10.4. Инвариантное подпространство...........190
10.5. Жорданова и фробениусова формы матрицы .....192
Глава 11. ЛИНЕЙНЫЕ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ..............198
11.1. Линейные и билинейные функции..........198
11.2. Квадратичные формы ..............202
Глава 12. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 205
12.1. Определение евклидова и унитарного пространств .... 205
12.2. Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств 210
Глава 13. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО.......218
13.1. Аффинное пространство Аn. Плоскости в пространстве Ап 218
13.2. Аффинные преобразования ............222
13.3. Аффинная теория квадрик ............225
Глава 14. ТОЧЕЧНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО . . 229
14.1. Понятие точечного евклидова пространства
14.2. Движения и аффинные преобразования пространства . 231
14.3. Квадрики в пространстве ...........232
Глава 15. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО .....238
15.1. Проективные координаты и плоскости........238
15.2. Проективные преобразования ...........241
15.3. Проективная классификация квадрик ........242
ОТВЕТЫ.....................245
ЛИТЕРАТУРА...................299
