Яцкин Н. И. Линейная алгебра : Теоремы и алгоритмы : учебное пособие / Н. И. Яцкин. — Иваново : Иван. гос. ун-т, 2008. — 607 с.
Излагаются основы теории и приводятся указания к практическим и лабораторным занятиям по курсу алгебры и геометрии в рамках следующих тем: линейные пространства и линейные отображения, спектральная теория для линейных операторов, линейные, билинейные и квадратичные формы.
Пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению «Математика. Компьютерные науки».
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........................................................11
Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТИ .............................15
§ 1. Аксиомы линейного пространства над полем. Примеры линейных пространств. Линейные подпространства. Линейные отображения...........................15
1.1. Аксиомы ПОЛЯ..................................................15
1.2. Аксиомы линейного пространства................................15
1.3. Арифметические линейные пространства........................18
1.4. Другие примеры конкретных линейных пространств..............19
1.5. Линейные подпространства...................21
1.6. Линейные отображения....................24
1.7.* Пример линейного пространства над полем F2..........28
§ 2. Системы векторов в линейных пространствах и их линейные оболочки. Порождающие системы векторов. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства..........33
2.1. Системы векторов в линейном пространстве и их линейные оболочки 33
2.2.* Линейные оболочки подмножеств в линейных пространствах ... 36
2.3. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства ... 38
§ 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов 41
3.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой) с.в..............41
3.2. Свойство единственности разложения вектора по линейно независимой с.в........................................................43
3.3.* Понятие линейной зависимости (независимости) для подмножеств
в линейном пространстве......................................43
3.4. Линейно независимые системы векторов в функциональных пространствах ..................................................44
§ 4. Базисы в линейных пространствах; четыре способа характеризации; теорема существования.................50
4.1. Определение базиса в линейном пространстве..........50
4.2. Четыре способа характеризации базисов.............52
4.3. Теорема существования базиса для к.л.п.............54
4.4.* Алгебраические базисы в произвольных линейных пространствах (базисы Гамеля)..............................................55
4.5.* Понятие о топологических базисах...............56
§ 5. Равномощность базисов. Размерность линейного пространства.
Продолжение базисов......................58
5.1. Оценка количества векторов в линейно независимой с.в......58
5.2. Характеризация к.л.п. в терминах линейно независимых с.в. Конечномерность подпространств в к.л.п..............................60
5.3. Равномощность всех базисов и понятие размерности для к.л.п. . . 61
5.4. Продолжение базисов.....................62
5.5. Свойство строгой монотонности размерности..........63
§ 6. Основная теорема о линейных отображениях. Теорема об изоморфизме. Координатный изоморфизм.............64
6.1. Основная теорема о линейных отображениях к.л.п..................64
6.2. Свойства линейных изоморфизмов...............68
6.3. Теорема об изоморфизме для к.л.п................69
6.4. Координатный изоморфизм к.л.п. на арифметическое линейное пространство ....................................................70
§ 7. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса........72
7.1. Матрица перехода от одного базиса в к.л.п. к другому. Свойства
матриц перехода..............................................72
7.2. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса ... 77
7.3. Задачи на вычисление матриц перехода и пересчет координатных
столбцов при замене базисов..................................79
7.4. Применение системы Maple для решения задач, связанных с заме-
ной базисов..................................................85
§ 8. Сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана..............................88
8.1. Линейные подпространства в к.л.п. и действия над ними.....88
8.2. Сумма и пересечение конечномерных линейных подпространств. Формула Грассмана..........................................91
§ 9. Прямые суммы и прямые дополнения.............95
9.1. Внутренняя прямая сумма линейных подпространств. Критерий
прямизны....................................................95
9.2. Прямые дополнения к линейному подпространству........100
9.3. Полные прямые суммы. Операторы вложения и проектирования . 105
9.4. Внешняя прямая сумма линейных пространств..........108
§ 10. Алгоритмы построения базисов в линейных подпространствах
конечномерных линейных пространств........................111
10.1. Два способа задания линейных подпространств и алгоритмы построения базисов в них....................111
10.2. Алгоритм продолжения базиса.................115
10.3. Алгоритмы построения базисов в сумме и пересечении линейных подпространств.......................117
§ 11. Примеры решения задач на построение базисов в линейных
подпространствах..............................................122
11.1. Типовой расчет по теме "Базисы в подпространствах"......122
11.2. Особые случаи расположения подпространств в расчете ТР1 . . . 133
11.3. Пакет Марш-процедур для решения ТР1............135
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ................................139
§ 12. Алгебраические действия над линейными отображениями. Матрица линейного отображения..................................139
12.1. Алгебраические действия над линейными отображениями .... 139
12.2. Матрица линейного отображения. Изоморфизмы между линейными пространствами линейных операторов и матриц.......142
12.3. Матрица для композиции линейных отображений. Теорема об изоморфизме для алгебраических систем линейных операторов и матриц .............................145
12.4.* Арифметизация ("оцифровка") линейных операторов......147
12.5. Примеры вычисления матриц линейных отображений......150
§ 13. Преобразование матрицы линейного отображения при замене
базисов. Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы . . . 156
13.1. Замена базисов и преобразование матрицы линейного отображения 156
13.2.* Изменение "оцифровки" для линейного оператора при замене базисов ............................158
13.3. Эквивалентные матрицы...................158
13.4. Примеры пересчета матриц линейных отображений.......161
13.5. Линейные эндоморфизмы и их матрицы............164
13.6. Подобные квадратные матрицы................165
13.7. Примеры пересчета матриц л.э.................167
13.8.* Оператор разностного дифференцирования..........172
13.9. Определитель и след для линейного эндоморфизма.......174
§ 14. Образ и ядро, ранг и дефект линейного отобргіжения.....177
14.1. Отображения множеств, образы и прообразы подмножеств .... 177
14.2. Образы и прообразы линейных подпространств при линейных отображениях..........................178
14.3. Алгоритмы построения базисов в ядре и образе линейного отображения ............................183
§ 15. Теоремы о линейных гомоморфизмах.............186
15.1. Первая теорема о линейных гомоморфизмах..........186
15.2. Вторая теорема о линейных гомоморфизмах..........187
15.3. Критерии эпи-(моно-, изо-)морфности.............189
15.4. Критерии обратимости (необратимости) линейных эндоморфизмов 190
Глава 3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ........................................................192
§ 16. Собственные значения (спектр) и собственные подпространства для линейного эндоморфизма............................192
16.1. Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма.....192
16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространств ... 194
§ 17. Характеристический многочлен и характеристические корни
для линейного эндоморфизма..................................196
17.1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен. . 196
17.2. Коэффициенты характеристического многочлена........200
17.3. Корни характеристического многочлена............203
17.4. Алгебраические кратности собственных значений........205
§ 18. Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств
для линейного эндоморфизма..................................207
18.1. Арифметизация собственных подпространств..........207
18.2. Геометрические кратности собственных значений........208
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э.......................209
18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах ............................212
§ 19. Свойства собственных подпространств.............218
19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э........218
19.2. Инвариантность собственных подпространств..........219
19.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э. . 222
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы . . . 225
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и
их матрицы.........................225
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации.............228
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение...........................229
20.4.* Умножение блочных матриц.................231
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации ...........................233
§ 21. Диагонализируемые линейные эндоморфизмы........237
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов . . 237
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве .... 239
21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма .... 240
21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц.........................241
21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром ............................242
21.6. Примеры недиагонализируемых л.э...............242
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость .........................247§ 16. Собственные значения (спектр) и собственные подпространства для линейного эндоморфизма............................192
16.1. Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма.....192
16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространств ... 194
§ 17. Характеристический многочлен и характеристические корни
для линейного эндоморфизма..................................196
17.1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен. . 196
17.2. Коэффициенты характеристического многочлена........200
17.3. Корни характеристического многочлена............203
17.4. Алгебраические кратности собственных значений........205
§ 18. Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств
для линейного эндоморфизма..................................207
18.1. Арифметизация собственных подпространств..........207
18.2. Геометрические кратности собственных значений........208
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э.......................209
18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах ............................212
§ 19. Свойства собственных подпространств.............218
19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э........218
19.2. Инвариантность собственных подпространств..........219
19.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э. . 222
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы . . . 225
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и
их матрицы.........................225
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации.............228
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение...........................229
20.4.* Умножение блочных матриц.................231
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации ...........................233
§ 21. Диагонализируемые линейные эндоморфизмы........237
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов . . 237
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве .... 239
21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма .... 240
21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц.........................241
21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром ............................242
21.6. Примеры недиагонализируемых л.э...............242
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость .........................247
§ 22. Свойства характеристического многочлена..........250
22.1. Характеристический многочлен для сужения л.э. на его инвариантное подпространство...................250
22.2. Неравенства для геометрических и алгебраических кратностей собственных значений......................251
22.3.* Собственная сумма и блочная структура для л.э.........253
§ 23. Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги. Теорема о
стабилизации..................................................254
23.1. Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги для л.э.....254
23.2. Теорема о стабилизации для л.э.................256
23.3. Стабильное ядро и стабильный образ; их взаимная дополнительность ............................258
23.4. Теорема о стабилизации в случае нильпотентного л.э.......260
§ 24. Приращения итерированных дефектов. Теорема Фробениуса.
Вторые приращения дефектов................................263
24.1. Приращения итерированных дефектов.............263
24.2. Теорема Фробениуса.....................263
24.3. Вторые приращения итерированных дефектов.........266
§ 25. Жорданов базис в стабильном ядре линейного эндоморфизма.
Малая теорема Жордана......................................268
25.1. Понятие жорданова базиса для л.э...............268
25.2. Базисы в стабильном ядре л.э., организованные в виде столбчатых диаграмм..........................269
25.3. Малая теорема Жордана...................272
25.4. Стабильный дефект как алгебраическая кратность нулевого собственного значения......................274
25.5. Жорданов базис для нильпотентного л.э.............275
25.6. Алгоритм построения жорданова базиса в стабильном ядре л.э. . 276
§ 26. Корневые подпространства для линейного эндоморфизма . .281
26.1. Корневые подпространства и корневые векторы ........281
26.2. Инвариантность корневых подпространств...........283
26.3.* Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у многочлена .... 285
26.4. Размерность корневого подпространства............287
26.5. Жорданов базис в корневом подпространстве л.э.........290
26.6. Алгоритм построения жорданова базиса в корневом подпространстве .............................292
§ 27. Корневая сумма. Большая теорема Ж^ордана.........294
27.1. Независимость в совокупности корневых подпространств для л.э.. 294
27.2. Жорданов базис в корневой сумме. Большая теорема Жордана . 298
27.3. Жорданова нормальная форма и критерий подобия для квадратных матриц.........................301
27.4.* Комплексификация и овеществление. Обобщенная ж.н.ф. для действительных матриц.....................304
§ 28. Алгоритм построения жорданова базиса для линейного эндоморфизма ......................................................313
28.1. Обзор ранее изученых алгоритмов спектральной теории л.э. . . . 313
28.2. Алгоритм построения (частично) жорданова базиса для л.э. . . . 315
28.3. Типовой расчет по теме "Жорданов базис для линейного эндоморфизма" ...........................318
28.4. Особые случаи в задаче о построении жордановых базисов .... 332
28.5. Отыскание ж.н.ф. матрицы с помощью системы Maple.....334
28.6. "Процедура-сценарий" jrd для решения задач ТР2.......337
§ 29. Многочлены от линейных эндоморфизмов и квадратных матриц. Аннулирующие многочлены............... 338
29.1. Значение многочлена от линейного эндоморфизма (от квадратной матрицы)..........................338
29.2. Аннулирующие многочлены для л.э. и для квадратных матриц . . 347
29.3. Теорема Гамильтона — Кэли..................352
29.4.* Функции от матриц.....................357
§ 30.* Каноническая форма Смита для полиномиальной матрицы и
ее применения......................... 359
30.1. Матрицы над кольцом многочленов и алгебраические действия над ними............................359
30.2. Каноническая форма Смита и эквивалентность полиномиальных матриц...........................363
30.3. Квадратные матрицы над кольцом многочленов и их представление в виде многочленов с матричными коэффициентами .... 370
30.4. Подобие квадратных матриц (над полем) и эквивалентность их характеристических матриц (над кольцом многочленов).....377
30.5. Инвариантные многочлены и элементарные делители для квадратных матриц над полем. Критерий подобия...........381
30.6. Второй способ приведения квадратной матрицы к ж.н.ф.....382
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ .............................. 396
§ 31. Линейные формы на конечномерном линейном пространстве.
Двойственное линейное пространство..........................396
31.1. Понятие линейной формы...................396
31.2. Матрица-строка и координатное выражение для линейной формы 398
31.3. Понятие двойственного (сопряженного) линейного пространства. Двойственный (сопряженный) базис..............399
31.4. Влияние замены базиса на линейные формы..........403
§ 32. Теория двойственности.....................406
32.1. Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм к.л.п. на его второе двойственное...............406
32.2. Аннуляторы подмножеств и их свойства............411
32.3. Аннуляторы линейных подпространств.............413
32.4. Соотношения двойственности.................416
§ 33. Двойственный линейный оператор. Теорема Фредгольма . . . 417
33.1. Понятие двойственного линейного оператора..........417
33.2. Матрица двойственного оператора...............422
33.3. Теорема Фредгольма.....................425
33.4.* Неформальные рассуждения о природе двойственности.....426
§ 34. Билинейные формы и их матрицы...............429
34.1. Понятие билинейной формы на линейном пространстве.....429
34.2. Матрица билинейной формы.................432
34.3. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса. Конгруэнтные матрицы.....................435
34.4. Ранг билинейной формы. Невырожденные б.ф..........437
34.5. Симметрические и антисимметрические б.ф...........438
34.6.* Два линейных гомоморфизма линейного пространства в двойственное, связанные с б.ф...................442
§ 35. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Формула поляризации..............................................447
35.1. Понятие квадратичной формы. Формула поляризации......447
35.2. Матрица и координатная запись для квадратичной формы.... 449
35.3. Диагонализирующие базисы для симметрических билинейных (квадратичных) форм......................451
§ 36. Диагонализация по Лагранжу симметрических билинейных
(квадратичных) форм..........................................453
36.1. Алгоритм Лагранжа диагонализации с.б.ф. (кв.ф.).......453
36.2. Скелетный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над алгебраически замкнутым полем............................463
§ 37. Диагонализация по Якоби симметрических билинейных (квадратичных) форм. Метод Грам — ГПмидта....................465
37.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.)...........465
37.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф. (кв.ф.) .... 474
§ 38. Симметрические билинейные (квадратичные) формы над полем действительных чисел. Сигнатура. Теорема инерции . . 478
38.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем М........478
38.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем М. Теорема инерции 481
38.3. Знакоопределенные и знакопеременные с.б.ф. (кв.ф.) над полем М 485
38.4. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности с.б.ф. (кв.ф.)......................489
38.5.* Исследование функций на экстремум и квадратичные формы . . 494
§ 39. Примеры решения задач на исследование симметрических билинейных (квадратичных) форм..............................497
39.1. Типовой расчет по теме "Диагонализация симметрических билинейных (квадратичных) форм"................497
39.2. Пакет Маріе-процедур для решения ТРЗ............505
§ 40.* Одновременная диагонализация двух симметрических билинейных (квадратичных) форм..................................506
40.1. К.л.и. с фиксированной положительно определенной с.б.ф.; ортогональные и ортонормированные базисы............506
40.2. Ортогональные матрицы...................509
40.3. Линейный изоморфизм между пространствами л.э. и б.ф., определяемый с помощью невырожденной с.б.ф............510
40.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы .............511
40.5. Спектральные свойства самососопряженных линейных эндоморфизмов ...........................514
40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряженного л.э. . . . 517
40.7. Ортогональная диагонализация (приведение к главным осям) с.б.ф.
в евклидовом пространстве..................519
40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы.....524
Список рекомендуемой литературы.................526
Список используемых сокращений.................528
Приложение 1. Коды Маріе-процедур...............529
Приложение 2. Иллюстрации....................594
Приложение 3. Столбчатые диаграммы...............597
Приложение 4. Содержание [Ai] — первой части курса......605
