Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учеб. пособие. - М.: МФТИ. 2009 - 570 с.
Предназначено для студентов физических и технических специальностей университетов и вузов, является введением в теорию линейных пространств, состав и упорядочение материала которого определен ориентацией на прикладной характер специализации читателя. Пособие написано на основе лекций, читавшихся автором студентам МФТИ.
В нем представлены как традиционные разделы аналитической геометрии, теории матриц, теории линейных систем и конечномерных векторных пространств, так и некоторые дополнительные разделы линейной алгебры, важные для студентов физических специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.........................................................................8
От автора.......................................................................10
Глава 1. Векторы и линейные операции с ними. .. 13
§ 1.1. Матричные объекты........................................................13
§ 1.2. Направленные отрезки...................................................22
§ 1.3. Определение множества векторов..............................25
§ 1.4. Линейная зависимость векторов....................................30
§ 1.5. Базис. Координаты вектора в базисе......................36
§ 1.6. Действия с векторами в координатном
представлении..............................................................41
§ 1.7. Декартова система координат............................................46
§ 1.8. Изменение координат при замене базиса и 49
начала координат.........................................
Глава 2. Произведения векторов..........................................................56
§ 2.1. Ортогональное проектирование......................................56
§ 2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства................................59
§ 2.3. Выражение скалярного произведения в координатах ............................61
§ 2.4. Векторное произведение векторов и его свойства....................63
§ 2.5. Выражение векторного произведения в координатах ............................67
§ 2.6. Смешанное произведение..........................................................70
§ 2.7. Выражение смешанного произведения в координатах...................................72
§ 2.8. Двойное векторное произведение................................74
§ 2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов........................................................78
Глава 3. Прямая и плоскость......................................................................81
§3.1. Прямая на плоскости........................................................................81
§ 3.2. Способы задания прямой на плоскости..............86
§ 3.3. Плоскость в пространстве........................................................95
§ 3.4. Способы задания прямой в пространстве..........106
§ 3.5. Решение геометрических задач методами векторной алгебры....................ПО
Глава 4. Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве .....
§4.1. Линии на плоскости и в пространстве..................123
§ 4.2. Поверхности в пространстве................................................128
§ 4.3. Цилиндрические и конические поверхности 131
§ 4.4. Линии второго порядка на плоскости....................135
§ 4.5. Поверхности второго порядка в пространстве.............................................143
§ 4.6. Альтернативные системы координат......................146
Глава 5. Преобразования плоскости..............................................153
§ 5.1. Произведение матриц......................................................................153
§ 5.2. Операторы и функционалы. Отображения и
преобразования плоскости......................................................165
§ 5.3. Линейные операторы на плоскости..........................168
§ 5.4. Аффинные преобразования и их свойства... 177
§ 5.5. Ортогональные преобразования плоскости. 192
§ 5.6. Понятие группы........................................................198
Глава 6. Системы линейных уравнений..................................199
§6.1 Определители...........................................................199
§ 6.2 Свойства определителей..................................................200
§ 6.3. Разложение определителей..............................................207
§ 6.4. Правило Крамера.......................................... 214
§ 6.5. Ранг матрицы...........................................................217
§ 6.6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными ................................................... 222
§ 6.7. Фундаментальная система решений............ 225
§ 6.8. Элементарные преобразования. Метод Гаусса ................................................................ 236
Глава 7. Линейное пространство.............................................245
§ 7.1. Определение линейного пространства................245
§ 7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве..............................................250
§ 7.3. Подмножества линейного пространства............254
§ 7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении... 262
§ 7.5. Изоморфизм линейных пространств......................265
Глава 8 Линейные зависимости в линейном пространстве....................................................... 278
§ 8.1. Линейные операторы.................................... 278
§ 8.2. Действия с линейными операторами........... 280
§ 8.3. Координатное представление линейных
операторов.................................................... 286
§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператора ............................................................... 294
§ 8.5. Инвариантные подпространства и собственные векторы.............................. 307
§ 8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений.................... 314
§ 8.7. Линейные функционалы.............................. 329
Глава 9. Нелинейные зависимости в линейном
пространстве...........................................................339
§ 9.1. Билинейные функционалы......................................................339
§ 9.2. Квадратичные функционалы..............................................344
§ 9.3. Исследование знака квадратичного функционала ..................................................354
§ 9.4. Инварианты линий второго порядка на
плоскости...................................................... 364
§ 9.5. Экстремальные свойства квадратичных
функционалов............................................... 370
§ 9.6. Полилинейные функционалы...................... 371
Глава 10. Евклидово пространство........................... 373
§ 10.1. Определение и основные свойства............ 373
§ 10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса.................................. 377
§ 10.3. Координатное представление скалярного
произведения.............................................. 380
§ 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом
пространстве.............................................. 386
§ 10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве ..................... 389
§ 10.6. Сопряженные операторы в евклидовом
пространстве.............................................. 396
§10.7. Самосопряженные операторы................... 402
§10.8. Ортогональные операторы......................... 409
Глава 11. Унитарное пространство......................................................419
§11.1. Определение унитарного пространства .... 419
§ 11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве ..............................................422
§ 11.3. Эрмитовы операторы..................................................................424
§ 11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора................429
§11.5. Соотношение неопределенностей..........................433
Глава 12. Прикладные задачи линейной алгебры . 435
§ 12.1. Приведение квадратичных функционалов
к диагональному виду................................ 435
§ 12.2. Классификация поверхностей второго порядка....................................452
§ 12.3. Аппроксимация функций многочленами .. 457
Приложение 1. Свойства линий второго порядка на плоскости.....................465
§ Прил. 1.1 Вырожденные линии второго порядка.....................................465
§ Прил. 1.2 Эллипс и его свойства................................................467
§ Прил. 1.3.Гипербола и ее свойства..........................................475
§ Прил. 1.4.Парабола и ее свойства..............................................482
Приложение 2. Свойства поверхностей второго порядка...........................488
§ Прил. 2.1. Вырожденные поверхности второго порядка........................488
§ Прил. 2.2.Эллипсоид....................................................489
§ Прил. 2.3.Эллиптический параболоид..............................491
§ Прил. 2.4.Гиперболический параболоид........................492
§ Прил. 2.5.Однополостный гиперболоид..........................495
§ Прил. 2.6. Двуполостный гиперболоид............................497
§ Прил. 2.7. Поверхности вращения............................................499
Приложение 3. Комплексные числа......................................501
Приложение 4. Элементы тензорного исчисления .. 511
§ Прил. 4.1.Замечания об определении объектов в
линейном пространстве........................................511
§ Прил. 4.2.Определение и обозначение тензоров 519
§ Прил. 4.3.Операции с тензорами................................................528
§ Прил. 4.4.Тензоры в евклидовом пространстве . 539
§ Прил. 4.5.Тензоры в ортонормированном базисе ...................................544
Список литературы.................................................................553
Предметный указатель.........................................................554
Часть 1
Часть 2
