Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учеб. пособие. - М., 2003. - 576 с. ISBN 5-279-02557-7
Пособие охватывает основные разделы линейной алгебры, а также некоторые нетрадиционные: специальные разложения матриц, функции от матриц, псевдообратные матрицы, итерационные методы решения систем линейных уравнений, устойчивость решений систем линейных уравнений. Понятия и утверждения подробно разъясняются, иллюстрируются многочисленными примерами, указываются пути практического применения изучаемых фактов.
Для студентов, обучающихся по специальностям "Математика", "Прикладная математика", "Физика", "Экономика", "Экономическая кибернетика", "Инженерная технология", "Информатика" и др. Для специалистов, применяющих методы линейной алгебры в своей практической деятельности. Может быть использовано в качестве справочника.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................3
Глава 1. Первоначальные сведения..........................5
1.1. Множества, алгебраические операции, группы, кольца, поля......................................................5
1.2. Простые и двойные суммы..............................10
1.3. Перестановки и подстановки............................12
Глава 2. Системы линейных уравнений. Определители 16
2.1. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)..............................................16
2.2. Определители..............................................24
2.3. Свойства определителей..................................26
2.4. Миноры и алгебраические дополнения..................31
2.5. Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа..............................................35
2.6. Вычисление определителей ..............................38
2.7. Крамеровские системы....................................41
Упражнения................................................45
Глава 3. Матрицы и действия над ними ..................48
3.1. Первоначальные сведения о матрицах..................48
3.2. Сложение матриц и умножение матрицы на число . . 51
3.3. Линейные комбинации столбцов (строк)................52
3.4. Умножение матриц........................................56
3.5. Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы......................................61
3.6. Обратная матрица........................................64
3.7. Простейшие матричные уравнения......................72
3.8. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители ......................................................74
Упражнения................................................77
Глава 4. Линейные пространства............................80
4.1. Определение линейного пространства..................80
4.2. Линейная зависимость векторов........................83
4.3. Ранг матрицы. Скелетное разложение матрицы ... 91
4.4. Базис и размерность пространства ....................104
4.5. Связь между базисами линейного пространства . . . 110
4.6. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису............................................115
4.7. Изоморфизм линейных пространств....................119
4.8. Системы линейных уравнений (общая теория) .... 123
4.9. Однородные системы линейных уравнений . . . . . . 129
4.10. Связь между решениями однородной и неоднородной систем ......................................................136
4.11. Линейные подпространства..............................138
Упражнения................................................154
Глава 5. Линейные операторы в линейных
пространствах................................................161
5.1. Определение и примеры линейных операторов .... 161
5.2. Линейные операторы и матрицы........................165
5.3. Выражение координат вектора-образа через координаты вектора-прообраза..................................169
5.4. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах................................................171
5.5. Действия с линейными операторами....................175
5.6. Характеристический и минимальный многочлены . . 180
5.7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора............................................190
5.8. Линейные операторы простой структуры..............199
Упражнения................................................209
Глава 6. Каноническая жорданова форма матрицы . .................215
6.1. Жорданов базис ..........................................215
6.2. Построение жорданова базиса и жордановой матрицы 223
6.3. Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц ........................................236
6.4. Третий способ построения жордановой и трансформирующей матриц ........................................240
6.5. К построению минимального многочлена..............246
Упражнения................................................248
Глава 7. Функции от матриц..................................249
7.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра ..........................................................249
7.2. Функции от матриц ......................................251
7.3. Спектральное разложение матрицы /(А)..............254
7.4. Представление функций от матриц рядами ...... 258
7.5. Некоторые приложения функций от матриц..........259
Упражнения................................................264
Глава 8. Евклидовы и унитарные пространства .... 266
8.1. Определение евклидова пространства. Матрица Грама ............................................................266
8.2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации......................................................272
8.3. Ортонормированные базисы ............................281
8.4. Ортогональные матрицы ................................283
8.5. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство............................285
8.6. Изоморфизм евклидовых пространств..................291
8.7. Понятие об унитарном пространстве..................293
8.8. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве 298
8.9. Симметрические (самосопряженные) операторы . . . 305
8.10. Ортогональные операторы..............................318
8.11. Произвольные линейные операторы в евклидовом пространстве ..................................................338
8.12. Сопряженные операторы в унитарном пространстве 340
8.13. Эрмитовы операторы ....................................343
8.14. Унитарные операторы....................................347
8.15. Нормальные операторы..................................350
8.16. Произвольные линейные операторы в унитарном пространстве ..................................................354
8.17. QR-разложение матрицы ................................354
8.18. Сингулярное разложение матрицы......................362
8.19. Полярное разложение матрицы..........................374
8.20. Псевдообратная матрица................................381
8.21. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов........................................393
8.22. Метод регуляризации для систем линейных уравнений 409
8.23. Нормы векторов и матриц................................412
8.24. Оценка погрешности решения системы линейных уравнений ........................................................416
8.25. Отыскание устойчивого решения системы линейных уравнений..................................................420
8.26. Рекомендации к решению систем линейных уравнений на ЭВМ..........................................426
Упражнения................................................433
Глава 9. Квадратичные формы ..............................446
9.1. Определение квадратичной формы......................446
9.2. Линейное преобразование переменных ................448
9.3. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных ............................449
9.4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду..........................................................451
9.5. Закон инерции квадратичных форм....................457
9.6. Знакоопределенные квадратичные формы ............459
9.7. Распадающиеся квадратичные формы..................466
9.8. Квадратичные формы в евклидовом пространстве . 468
9.9. Пары квадратичных форм ...............................472
9.10. Квадратичные формы в комплексном линейном пространстве ..................................................476
Упражнения................................................485
Глава 10. Итерационные методы решения систем
линейных уравнений........................................488
10.1. Метод итераций............................................488
10.2. Метод Зейделя ............................................492
10.3. Приведение линейной системы к виду, удобному для
итераций....................................................494
Упражнения................................................499
Глава 11. О приближенных методах вычисления
собственных значений и собственных векторов . . 501
11.1. Метод вращений (метод Якоби) ........................501
11.2. QR-алгоритм..............................................509
11.3. Степенной метод..........................................514
11.4. Метод скалярных произведений ........................520
Упражнения................................................522
Глава 12. Элементы п-мерной аналитической
геометрии......................................................525
12.1. Аффинные пространства ................................525
12.2. Координаты в аффинном пространстве................526
12.3. Плоскости в аффинном пространстве..................528
12.4. Гиперповерхности второго порядка....................531
12.5. Точечно-векторное евклидово пространство..........539
12.6. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве ..................................................541
Упражнения................................................556
Приложение. Вычисление характеристического
многочлена......................................................557
Литература ........................................................563
Предметный указатель........................................565
Часть 1
Часть 2
