Прасолов В. В. Многочлены. — 3-е изд, исправленное. — М., 2003. —336 с: ил.
Теория многочленов составляет существенную часть университетских курсов алгебры и анализа. Тем не менее, книг, целиком посвященных теории многочленов, чрезвычайно мало. В этой книге изложены основные результаты исследований по теории многочленов, как классические, так и современные. Большое внимание уделено 17-й проблеме Гильберта о представлении неотрицательных многочленов суммами квадратов рациональных функций и ее обобщениям. Теория Галуа обсуждается прежде всего с точки зрения теории многочленов, а не с точки зрения общей теории полей и их расширений.
Для студентов, аспирантов, научных работников — математиков и физиков.
Оглавление
Предисловие к первому изданию 8
Глава 1. Корни многочленов 9
1. Неравенства для корней 9
1.1. Основная теорема алгебры....................................9
1.2. Теорема Коши..................................................10
1.3. Теорема Лareppa................................................13
1.4. Аполярные многочлены........................................15
1.5. Проблема Рауса-Гурвица......................................20
2. Корни многочлена и его производной 21
2.1. Теорема Гаусса-Люка..........................................21
2.2. Корни производной и фокусы эллипса......................23
2.3. Локализация корней производной............................25
2.4. Гипотеза Сендова-Илиева....................................28
2.5. Многочлены, у которых совпадают корни их самих
и их производных..............................................30
3. Результант и дискриминант 30
3.1. Результант......................................................30
3.2. Дискриминант..................................................34
3.3. Вычисление некоторых результантов и дискриминантов 35
4. Разделение корней 38
4.1. Теорема Фурье-Бюдана......................................38
4.2. Теорема Штурма................................................42
4.3. Теорема Сильвестра............................................43
4.4. Разделение комплексных корней..............................47
5. Ряд Лагранжа и оценки корней многочлена 49
5.1. Ряд Лагранжа-Бюрмана......................................49
5.2. Ряд Лагранжа и оценки корней..............................52
Глава 2. Неприводимые многочлены 58
6. Основные свойства неприводимых многочленов 58
6.1. Разложение многочленов на неприводимые множители . 58
6.2. Признак Эйзенштейна ........................................61
6.3. Неприводимость по модулю р................................63
7. Признаки неприводимости 64
7.1. Признак Дюма..................................................64
7.2. Многочлены с доминирующим коэффициентом............68
7.3. Неприводимость многочленов, принимающих
малые значения..................................................71
8. Неприводимость трехчленов и четырехчленов 72
8.1. Неприводимость многочленов ............72
8.2. Неприводимость некоторых триномов......................77
9. Теорема неприводимости Гильберта 78
10. Алгоритмы разложения на неприводимые множители 82
10.1. Алгоритм Берлекэмпа..........................................82
10.2. Факторизация с помощью леммы Гензеля..................85
Глава 3. Многочлены специального вида 91
11. Симметрические многочлены 91
11.1. Примеры симметрических многочленов ....................91
11.2. Основная теорема о симметрических многочленах .... 93
11.3. Неравенства Мюрхеда..........................................95
11.4. Функции Шура..................................................98
12. Целозначные многочлены 99
12.1. Базис целозначных многочленов..............................99
12.2. Целозначные многочлены от многих переменных.....102
12.3. g-аналог целозначных полиномов ..............103
13. Круговые многочлены 104
13.1. Основные свойства круговых многочленов.........104
13.2. Формула обращения Мёбиуса................105
13.3. Неприводимость круговых многочленов..........107
13.4. Выражение Фm,n через Фn ..................108
13.5. Дискриминант кругового многочлена ...........109
13.6. Результант пары круговых многочленов..........110
13.7. Коэффициенты круговых многочленов...........112
13.8. Теорема Веддерберна.....................113
13.9. Многочлены, неприводимые по модулю р.........114
14. Многочлены Чебышева 116
14.1. Определение и основные свойства..............116
14.2. Ортогональные многочлены.................121
14.3. Неравенства для многочленов Чебышева..........124
14.4. Производящая функция....................126
15. Многочлены Бернулли 129
15.1. Определения многочленов Бернулли ............129
15.2. Теоремы дополнения, сложения аргументов и умножения 132
15.3. Формула Эйлера........................134
15.4. Теорема Фаульгабера-Якоби................135
15.5. Арифметические свойства чисел и многочленов Бернулли 137
Глава 4. Некоторые свойства многочленов 151
16. Многочлены с предписанными значениями 151
16.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.........151
16.2. Интерполяционный многочлен Эрмита...........154
16.3. Многочлен с предписанными значениями в нулях
производной ..........................155
17. Высота многочлена и другие нормы 158
17.1. Лемма Гаусса..........................158
17.2. Многочлены от одной переменной..............160
17.3. Максимум модуля и неравенство Бернштейна.......164
17.4. Многочлены от многих переменных ............167
17.5. Неравенство для пары взаимно простых многочленов . . 170
17.6. Неравенство Миньотта....................171
18. Уравнения для многочленов 174
18.1. Диофантовы уравнения для многочленов..........174
18.2. Функциональные уравнения для многочленов.......181
19. Преобразования многочленов 187
19.1. Преобразование Чирнгауза..................187
19.2. Уравнение пятой степени в форме Бринга.........189
19.3. Представление многочленов в виде сумм степеней линейных функций.......................190
20. Алгебраические числа 194
20.1. Определение и основные свойства..............194
20.2. Теорема Кронекера......................196
20.3. Теорема Лиувилля.......................199
Глава 5. Теория Галуа 203
21. Теорема Лагранжа и резольвента Галуа 203
21.1. Теорема Лагранжа.......................203
21.2. Резольвента Галуа.......................207
21.3. Теорема о примитивном элементе..............212
22. Основы теории Галуа 214
22.1. Соответствие Галуа......................214
22.2. Многочлен с группой Галуа S5................219
22.3. Простые радикальные расширения.............220
22.4. Циклические расширения...................221
23. Решение уравнении в радикалах 223
23.1. Разрешимые группы......................223
23.2. Уравнения с разрешимой группой Галуа..........225
23.3. Уравнения, разрешимые в радикалах............226
23.4. Абелевы уравнения ......................229
23.5. Критерий Абеля-Галуа разрешимости уравнения
простой степени........................233
24. Вычисление групп Галуа 239
24.1. Дискриминант и группа Галуа................239
24.2. Резольвентные многочлены..................239
24.3. Группа Галуа по модулю р..................243
Глава 6. Идеалы в кольцах многочленов 246
25. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях 246
25.1. Теорема Гильберта о базисе.................246
25.2. Теорема Гильберта о нулях..................248
25.3. Многочлен Гильберта.....................252
25.4. Однородная теорема Гильберта о нулях для р-полей . . . 260
26. Базисы Грёбнера 263
26.1. Многочлены от одной переменной..............263
26.2. Деление многочленов от многих переменных.......264
26.3. Определения базисов Грёбнера................265
26.4. Алгоритм Бухбергера.....................268
26.5. Приведенный базис Грёбнера.................270
Глава 7. Семнадцатая проблема Гильберта 272
27. Суммы квадратов: введение 272
27.1. Некоторые примеры......................272
27.2. Теорема Артина-Касселса-Пфистера...........277
27.3. Неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим...................281
27.4. Теорема Гильберта
о неотрицательных многочленах р4(x, у)..........283
28. Теория Артина 289
28.1. Вещественные поля......................290
28.2. Теорема Сильвестра для вещественно замкнутых полей . 295
28.3. Семнадцатая проблема Гильберта..............298
29. Теория Пфистера 303
29.1. Мультипликативные квадратичные формы........303
29.2. Сі-поля .............................306
29.3. Теорема Пфистера о суммах квадратов рациональных
функций.............................308
Дополнение 313
30. Алгоритм Ленстры-Ленстры-Ловаса 313
30.1. Общее описание алгоритма..................313
30.2. Приведенный базис решетки.................314
30.3. Решетки и факторизация многочленов...........317
Литература 324
Предметный указатель 331
