Певзнер С.Л. Проективная геометрия: учебное пособи к курсу "Геометрия" для студентов-заочников II-III курсов физико-математических факультетов пед. университетов. — М., 1980.
Предлагаемое учебное пособие содержит материал по проективно геометрическим темам действующей программы курса геометрии педагогических институтов, а именно по разделам «Понятие проективного пространства» и «Основные факты проективной геометрии».
Изложение начинается с одномерной проективной геометрии. Это поможет читателю подготовиться к изучению основного материала двумерной геометрии. Такая дополнительная «ступенька», на мой взгляд, особенно полезна студенту-заочнику.
Преподавателю необходимо обратить внимание на применение проективных теорем к геометрии евклидовой плоскости, — это важный для будущего учителя аспект проективной геометрии. Этому вопросу в пособии уделено достаточное число пунктов и параграфов, названия которых заканчиваются словами «... на расширенной евклидовой плоскости». Студент должен четко представлять, например, что проективная теорема Дезарга распадается на много теорем евклидовой геометрии, что гармоническое деление — это обобщение деления пополам, что центр квадрики — это полюс несобственной прямой и т. д.
Книга состоит из шести глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы — на пункты. Нумерация пунктов, формул и примеров сохраняется в пределах каждого параграфа.
Пособие представляет расширенный вариант одноименной брошюры автора (Проективная геометрия. М., 1975). В отличие от нее изложение здесь более полное, теоретический материал иллюстрируется большим количеством подробно решенных примеров.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
§ 1. Расширенная евклидова прямая. Проективная прямая..............4
1. Перспективное отображение прямой в пучок......................—
2. Расширенная евклидова прямая. Определение проективной прямой. —
3. Порядок точек на проективной прямой..........................5
§ 2. Проективная система координат на прямой..........................6
1. Определение проективной системы координат....................—
2. Гомотетичные системы координат в пучке........................7
3. Задание проективных координат при помощи прямых пучка .... 8
4. Преобразование проективных координат ........................9
5. Проективные координаты на расширенной евклидовой прямой. Однородные аффинные координаты..................................11
§ 3. Двойное отношение четырех точек. Гармонизм......................14
1. Определение двойных отношений................................—
2. Двойное отношение четверок, содержащих совпавшие точки .... 16
3. Существование и единственность точки, находящейся с данными тремя в данном двойном отношении. Выражение проективных координат через двойные отношения
4. Двойное отношение и порядок точек на пряой..................17
5. Изменение двойного отношения при изменении порядка точек ... 18
6. Гармонические четверки ......................................19
§ 4. Двойное отношение точек на расширенной евклидовой прямой .... 21
1. Выражение двойного отношения через простые отношения .... —
2. Гармонические четверки точек на расширенной евклидовой прямой. 23
Глава II.ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОЙ плоскости
§ 5. Расширенная евклидова плоскость. Проективная плоскость..........24
1. Перспективное отображение плоскости в связку..................—
2. Расширенная евклидова плоскость ..............................25
3. Свойства несобственных элементов ............................—
4. Простейшие теоремы об инцидентности на расширенной евклидовой плоскости...........26
5. Определение проективной плоскости ............................27
§ 6. Проективная система координат ..................................29
1. Определение и задание проективных координат. Преобразование координат.................—
2. Условие коллинеарности трех точек и уравнение прямой. Координаты прямой ..............................30
3. Условие принадлежности трех прямых одному пучку............31
§ 7. Однородные аффинные координаты на расширенной евклидовой плоскости ............................................................35
1. Определение однородных аффинных координат..................—
2. Связь однородных аффинных координат с неоднородными..........36
3. Прямые в однородных аффинных координатах ..................37
4. Кривые второго порядка в однородных аффинных координатах . . 38
Глава III. ПРОСТЕЙШИЕ ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 8. Принцип двойственности. Теорема Дезарга........................41
1. Принцип двойственности ....................................—
2. Теорема Дезарга ..............................................42
3. Обратная теорема Дезарга ...................44
4. Теорема Дезарга на расширенной евклидовой плоскости......—
§ 9. Двойное отношение точек и прямых на плоскости....................45
1. Определение двойного отношения четырех коллинеарных точек плоскости и его эквивалентность с прежним определением............—
2. Выражение проективных координат точек плоскости через двойные отношения................46
3. Двойное отношение прямых пучка и расширенный принцип двойственности....................47
4. Основное свойство двойных отношений .............48
5. Следствия из основного свойства двойных отношений......49
6. Построение гармонических четверок на расширенной евклидовой плоскости..................—
§ 10. Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник............52
1. Определения ..............................................—
2. Гармонические свойства полного четырехвершинника ............53
3. Построение четвертой гармонической ..........................54
4. Гармонические свойства некоторых четырехвершинников на расширенной евклидовой плоскости ..................................55
Глава IV. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 11. Проективное отображение прямой на прямую......................57
1. Перспективное отображение прямой на прямую..................—
2. Проективное отображение прямой на прямую и его задание .... —
3. Условие перспективности проективного отображения............59
4. Теорема Паппа ..............................................—
§ 12. Проективные преобразования прямой. Инволюции..................61
1. Проективное преобразование прямой ..............—
2. Уравнения проективного преобразования прямой................—
3. Композиция проективных преобразований ......................62
4. Определение и признак инволюции. Задание....................—
5. Уравнения инволюции ........................................63
6. Неподвижные точки. Виды инволюций ........................64
§ 13. Коллинеации ..................................................64
1. О проективных преобразованиях плоскости......................
2. Определение коллинеаций и их задание........................—
3. Уравнения коллинеации ......................................70
4. Перспектива ................................................71
§ 14. Гомологии ....................................................74
1. Определение и виды гомологий..................................—
2. Задание гомологии ..........................................75
3. Инволюционные гомологии ..................................76
4. Гомологии на расширенной евклидовой плоскости................77
Глава V. КВАДРИКИ
§ 15. Квадрики и их классификация. Задание квадрики пятью точками ... 80
1. Определение квадрики ........................................—
2. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду..........81
3. Проективная классификация квадрик ..........................—
4. Задание квадрики пятью точками ..............................83
§ 16. Взаимное расположение прямой и квадрики. Поляры и полюсы .... 85
1. Точки пересечения прямой и квадрики..........................—
2. Касательные к квадрике ......................................86
3. Определение поляр и полюсов ................................87
4. Свойства полюсов и поляр. Полярная корреляция..................89
5. Автополярный трехвершинник и его связь с задачей приведения уравнения квадрики к каноническому виду......................90
6. Полярные свойства полного четырехвершинника, вписанного в квадрику ........................................................91
§ 17. Теоремы Паскаля и Брианшона ..................................94
1. Теорема Паскаля ............................................—
2. Предельные случаи теоремы Паскаля............................95
3. Теорема Брианшона и ее предельные случаи......................96
§ 18. Квадрики на расширенной евклидовой плоскости..........99
1. Аффинная классификация квадрик ............................—
2. Центр квадрики .......................101
3. Диаметры квадрики ........................................—
4. Асимптоты квадрики ....................102
Глава IV. ГЕОМЕТРИИ ГРУППЫ КОЛЛИНЕАЦИЙ И ЕЕ ПОДГРУПП
§ 19. Геометрия и группы преобразований...............105
1. Клейновское определение геометрии ............................—
2. Геометрия группы и ее подгруппы...............106
3. Проективная геометрия как геометрия группы коллинеаций ... 107
4. Абсолют ..........................108
§ 20. Аффинная геометрия с проективной точки зрения.........110
1. Аффинная группа как группа автоморфизмов относительно несобственной прямой...................—
2. Проективные определения аффинных понятий .........111
§ 21. Евклидова геометрия с проективной точки зрения..........111
1. Условие, при котором аффинное преобразование является пеобразованием подобия....................—
2. Группа подобий как группа автоморфизмов относительно несобственной прямой с заданной на ней абсолютной инволюцией............113
3. Проективные определения евклидовых понятий ........114
§ 22. Понятие о неевклидовых геометриях с проективной точки зрения ... 116
1. Общие замечания ............................................—
2. Псевдоевклидова геометрия ..................................—
3. Геометрия Лобачевского ..................118
Об определении проективных пространств ........................121
Алфавитный указатель ..........................................122
Литература ....................................................124
