Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейиик. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.
Книга представляет собой учебник по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательно продуманное изложение дало возможность в небольшом объеме вместить обширный материал. Более детально и строго, чем в других руководствах, рассмотрены уравнения простых типов. Подробно изложены общие теоремы о разрешимости уравнений и систем уравнений с непрерывными правыми частями. Теория линейных уравнений сопровождается оригинальным изложением канонической формы систем.
Книга включает главу об автономных системах и добавление, содержащее теорию линейных и нелинейных уравнений с частными производными 1-го порядка. Большое количество задач значительно расширяет содержание книги.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Oт редакторов........... . . 8
Предисловие к пятому изданию....... 9
Предисловие к первому изданию................9
ЧАСТЬ I
ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА С ОДЙОЙ НЁИЗВЕСТНОЯ ФУНКЦИЕЙ
Глава I. Общие понятия...............10
§ 1. Определения, примеры ......... 10
§ 2. Геометрическая интерпретация. Обобщенные задачи 12
Глава II. Простейшие дифференциальные уравнения ... 18
§ 3. Уравнения вида ..... 18
§ 4. Уравнении вида ....... 21
§ 5. Уравнения с разделяющимися переменными . . 23
§ 6. Однородные уравнения 27
§ 7. Линейные уравнения........ . 29
§ 8. Уравнении в полных дифференциалах . . . . 32
Глава III. Общая теория уравнений.......37
§ 9. Ломаные Эйлера ......... 38
§ 10. Теорема Арцели ......... 39
§ 11. Доказательство существования решения дифференциального уравнения методом Пеано 42
§ 12. Теорема Коши о единственности ...... . . 51
§ 13. Дополнение о ломаных Эйлера............86
§ 14. Метод последовательных приближений ... 57
§ 15. Принцип сжатых отображений . . . . . 65
§ 16. Геометрическая интерпретация принципа сжатых
отображений ........ 71
§ 17. Теорема Коши о дифференциальном уравнении
y'=f(x, у) с голоморфной правой частью . . 73
§ 18. о степени гладкости решений дифференциальных
уравнений ..........78
§ 19. Зависимость решения от начальных данных и от
правой части уравнения ..............79
§ 20. Лемма Адамара.........86
§ 21. Теорема о зависимости решения от параметров . 88
§ 22. Особые точки..........93
§ 23. Особые линии..........100
§ 24. О поведении интегральных линий в целом . . 101
§ 25. Уравнения, не разрешенные относительно производной ........... 104
§ 26. Огибающие ........115
ЧАСТЬ II
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава IV. Общая теория систем . .... . . 119
§ 27. Сведение любой системы к системе уравнений 1-го
порядка............119
§ 28. Геометрическая интерпретация. Определения . 120
§ 29. Формулировка основных теорем.....124
§ 30. Принцип сжатых отображений для систем операторных уравнений..........132
§ 31. Приложение принципа сжатых отображений к
системе дифференциальных уравнений . . . 136
Глава V. Общая теория линейных систем.....140
§ 32. Определения. Следствия из общей теории систем
дифференциальных уравнений......140
§ 33. Основные теоремы для однородных систем 1-го
порядка............142
§ 34. Выражение для определителя Вронского . . 149
§ 35. Составление однородной линейной системы дифференциальных уравнений по данной фундаментальной системе ее решений......150
§ 36. Следствия для дифференциального уравнения n-го
порядка............152
§ 37. Понижение порядка линейного однородного дифференциального уравнения......155
§ 38. О нулях решений линейных однородных уравнений 2-го порядка.........157
§ 39. Система неоднородных линейных уравнений 1-го
порядка . ...........161
§ 40. Следствие для линейного неоднородного уравнения
n-го порядка ........... 164
Глава VI. Линейные системы с постоянными коэффициентами 166
§ 41. Преобразование системы.......166
§ 42. Теорема о приведении к каноническому виду . 172
§ 43. Инварианты линейного преобразования ....... 178
§ 44. Элементарные делители . . . .... 180
§ 45. Отыскание фундаментальной системы решений для
однородной системы уравнений ..... 183
§ 46. Применение к однородному дифференциальному
уравнению n-го порядка.......188
§ 47. Разыскание частных решений неоднородных систем 191
§ 48. Приведение к каноническому виду уравнения.........195
§ 49. Устойчивость решений по Ляпунову .... 197
§ 50. Один физический пример............207
Глава VII. Автономные системы ......212
§ 51. Общие понятия.........212
§ 52. Три вида траекторий........216
§ 53. Предельное поведение траекторий . . . 218
§ 54. Функция последования ........222
§ 55. Теорема Бендиксона........226
§ 56. Окрестность точки покоя на плоскости. I . . 228
§ 57. Окрестность точки покоя на плоскости. II . 233
§ 58. Теория индексов........ . 242
§ 59. Теорема Брауэра о неподвижной точке . . . 247
§ 60. Приложения теоремы Брауэра......250
ДОПОЛНЕНИЕ
Глава VIII. Уравнении с частными производными 1-го порядка от одной неизвестной функции.....253
§ 61. Полулинейные уравнения.......253
§ 62. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.......262
§ 63. Квазилинейные уравнения......267
§ 64. Обобщенные решения линейных и квазилинейных
уравнений . . .........271
§ 65. Нелинейные уравнения.......280
§ 66. Уравнение Пфаффа........291
