Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений. - Минск, 1973. - 560 стр. с илл.
Учебное пособие для математических, физических, биологических, химических факультетов университетов, которое является руководством по составлению и решению дифференциальных уравнений. Как известно, в курсе дифференциальных уравнений решению практических задач на составление уделяется все еще недостаточное внимание. Кроме того, в учебниках и учебных пособиях вопросы составления дифференциальных уравнений обычно ограничиваются элементарными задачами геометрического или кинематического типа. Цель автора — создание учебного пособия, которое широко охватило бы различные задачи естествознания и техники и способствовало овладению современной методикой составления дифференциальных уравнений прикладных задач, возникающих в процессе производства или научной деятельности. Характерной особенностью освоения навыков составления дифференциальных уравнений является изучение многочисленных примеров. В связи с этим полнота изложения имеет здесь существенное значение. Книга содержит 325 задач на составление дифференциальных уравнений, из которых 194 задачи анализируются подробно.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................3
ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.............5
§ 1 Дифференциальные уравнения ...... 5
§ 2 Классификация дифференциальных уравнений............5
§ 3 Общее семейство решений, частное и особое решения ...........6
§ 4 Элементарные дифференциальные уравнения................7
§ 5 Выделение индивидуальных решений ........ 8
§ 6 Построение решения о виде степенного ряда .....10
§ 7 Метод последовательных приближений . ...... 11
§ 8 Продолжение решений .... ...........................12
ГЛАВА II СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ПО УСЛОВИЯМ
ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ....................13
§ 1 Общие принципы ..................
§ 2 Методика составления дифференциальных уравнений .... 13
§ 3 Схема составления дифференциального уравнения ..........15
ГЛАВА ІII ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 16
§ 1 Притяжение стержня и материальной точки . . . . . . 17
§ 2 Движение тел постоянной массы ....... 18
§ 3 Движение тел переменной массы (без учета внешних сил) ..26
§ 4 Растяжение упругой нити .................... 30
§ 5. Работа опорожнения сосудов ....... 34
§ 6. Изменение яркости света в стеклянной пластине .................. 35
§ 7. Нагрев тела................. 37
§ 8 Изменение состояния газов в сосудах............... 40
ГЛАВА IV ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ................. . 43
§ 1 Охлаждение тел................................ 43
§ 2 Нагрев тел ......................................46
§ 3 Распределение температуры внутри тел.....................48
§ 4 Брус равного напряжения ......................50
§ 5 Давление зерна на стенки хранилища ....................53
§ 6 Барометрическая формула и глубинное давление ..... 55
§ 7 Прямолинейное горизонтальное движение......................58
§ 8 Вертикальное движение тел.................................65
§ 9 Падение тел переменной массы . .... .......................81
§ 10 Криволинейное движение (кривая погони) .... .83
§ 11 Вращение тел в жидкости . ..............................86
§ 12 Закон всемирного тяготения..............88
§ 13 Радиоактивный распад . ........... 94
§ 14 Электрические заряды . ..... ..... 95
§ 15 Поверхность фрезы ...... ........ .99
§ 16 Трение ременной передачи ... .... .101
§ 17. Истечение жидкости из сосудов ............. 103
§ 18 Наполнение сосудов ....................... 108
§ 19 Установление уровня в сообщающихся сосудах ...........108
§20 Кривая депрессий . ...... . . 110
§ 21 Обеднение раствора . ... . . . . ..112
§ 22 Растворение твердых тел .......113
§ 23 Вентиляция производственного помещения ...,,.,. 119
§ 24 Газовые смеси ... .......... 120
§ 25 Ионизация газов . ........ 121
§ 26 Химические реакции ... ...... 122
§ 27. Рост населения ..........................133
§ 28 Процессы роста в природе и производстве ........ 142
§ 29 Экология популяции ........................ 150
§ 30 Плотность муравьев вне муравейника 157
§ 31 Рост денежных вкладов . ......... 161
ГЛАВА V ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ..........163
§ 1 Изогональные траектории . . 16З
§ 2 Геометрические приложения .......165
§ 3 Зеркало, фокусирующее параллельные лучи ......170
§ 4 Траектории полета самолетов .... ...... 171
ГЛАВА VI ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ............. .
§ 1 Параболическое зеркало. ..... 181
§ 2 Концентрация вещества в жидкости . ...... 182
ГЛАВА VII ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ................184
§ 1. Геометрические приложения ...............
§ 2 Движение материальной точки ... .......188
§ 3 Температура охлаждающего тела .....
§ 4 Нагрев тела при стационарном теплопотоке
§ 5 Электрические цепи . . ... .
§ 6 Рационализаторские предложения . ...
§ 7. Работа сердца............. ....
§ 8 Задача о сигарете ... ...... ...
ГЛАВА VIII ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЯМ БЕРНУЛЛИ, РИККАТИ, ЛАГРАНЖА И КЛЕРО)
§ 1 Уравнение Бернулли .... .......900
4 2 Уравнение Риккати . .........911
§ 3 Уравнение Лагранжа . . . . ........
§ 4 Уравнение Клеро .... .... . .
ГЛАВА IX ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (у"=с)... 227
§ 1 Скольжение тела под наклоном . ....
§ 2 Движение в горизонтальной плоскости при сопротивлении, пропорциональном
силе тяжести .... . . . 229
§ 3 Выброс вверх (без учета трения) ... . 231
§ 4 Распределение теплоты в стержне ... . 231
§ 5 Расстояние между фермами железнодорожного моста
ГЛАВА X ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . 236
I Уравнения типа y"=f{x)
§ 1 Переходная кривая железнодорожного пути . 237
§ 2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости...........230
§ 3 Упругая линия балок .. .......242
II Уравнения типа y"=f(y)
§ 4 Геометрические приложения . . . . . ... 255
§ 5 Движение материальной точки под действием силы притяжения . . 256
III. Уравнения типа y"=f(y')
§ 6 Определение кривой по радиусу кривизны . ...... 257
§ 7. Горизонтальное движение тела при наличии трения......259
§ 8 Движение в вертикальной плоскости .........274
§ 9 Равновесие тяжелой нити ...... .280
§ 10 Гибкая нить равного сопротивления .... . . 283
IV. Уравнения типа y"=f(x,y')
§ 11 Кривая и радиус кривизны . . . ... 285
V. Уравнения типа y"=f(y,y')
§ 12 Нахождение уравнения кривой но нормали и радиусу кривизны . . 286
ГЛАВА XI ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 288
I. Неполные линейные дифференциальные уравнения
§ 1 Гармонические колебания . . .... 296
§ 2 Движение тела без трения .... . . ... 307
§ 3 Дифференциальный манометр . . .312
§ 4 Распределение теплоты в стержнях..........313
§ 5 Продольный изгиб прямого стержня . . 320
§ 6 Движение шарика в трубке (задача Ампера) ... 3J8
II. Линейные дифференциальные уравнения
§ 7 Затухающие колебания . . . . . . . 330
§ 8 Затухающие колебания в электрической цепи . . . . 335
§ 9 Колебания магнитной стрелки без и при наличии успокоителя . . 343
§ 10 Вынужденные колебания механических систем . . . . З50
ГЛАВА XII ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЦИОНАЛЬНЫ.МИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ . . 363
I. Уравнение Эйлера
§ 1. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечения......363
II. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами
§ 2 Толстостенная цилиндрическая оболочка под давлением (задача Лямз)......366
III. Линейное неоднородное уравнение с рациональными коэффициентами
§ 3 Скорость течения жидкости в трубопроводе ................374
§ 4 Изгиб круглой пластины .............378
ГЛАВА XIII ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (УРАВНЕНИЯМ БЕССЕЛЯ. ЛЕЖАНДРА И МАТЬЕ) 385
I Уравнение Бесселя
§ 1 Устойчивость стержня формы усеченного конуса, сжимаемого продольной
силой . . . . .....
§ 2 Устойчивость цилиндрического стержня под действием собственного веса 392
§ 3 Устойчивость вращения гибкой нити . . . .
§ 4 Распределение температуры в кольцевом ребре прямоугольного профиля 398
ІІ Обобщенное уравнение Бесселя
§ 5 Маятник переменной длины ... .... 400
§ 6 Устойчивость стержня переменного сечения под действием переменной распределенной нагрузки . .... 402
ІІІ Дифференциальные уравнения в частных производных
§ 7 Колебания круглой мембраны . ..405
§ 8 Электрический потенциал двух равносильных зарядов ..........413
§ 9. Дифференциальное уравнение в частных производных потенциала . . . 417
§ 10 Потенциал притягивающих масс . . .... . .417
V Уравнение Матье
§ 11 Динамическая устойчивость стержня под действием переменной и продольной
силы ... .... .424
ГЛАВА XIV ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ... . 43G
§ 1 Разложение вещества . . . . .
§ 2 Относительная кривая погони . .... 447
§ 3 Давление в системе двух соединенных цилиндров с газом . 447
§ 4 Напряженное состояние диска под действием центробежных сил ... 447
§ 5. Превращение одного вещества в другое . . . . . 453
ГЛАВА XV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ......456
§ 1 Линия прогиба неразрезной балки от распределенной нагрузки . . . 456
ГЛАВА XVI ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 463
§ 1 Паровая машина с регулятором ... . .
ГЛАВА XVII ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ........... - . 471
§ 1 Колебания вала от действия центробежных сил ...... 472
§ 2 Балка (железнодорожный рельс) на упругом основании . ..... 477
§ 3 Колебания однородной балки (приведение дифференциального уравнения
в частных производных к обыкновенному) ............ 482
ГЛАВА XVIII ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.... .... 485
§ 1 Деформация стенок цилиндрического резервуара...........487
§ 2. Железнодорожная шпала ....490
ГЛАВА XIX ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . .... 495
§ 1. Движение материальной точки под действием отталкивающей силы, пропорциональной расстоянию ... . ..... 497
§ 2 Выброс тела под углом . . . ........ 500
§ 3 Сброс груза с самолета в заданную точку ... . . 503
§ 4 Движение планет . ...... . . 504
§ 5 Система двух связанных электрических контуров . . 509
§ 6 Изменение потенциала электрической линии по времени (приведение системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений) . . ... ... 513
§ 7 Стационарные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в теории систем современной техники и естествознания . . 519
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . .....529
I Дифференциальные уравнения первого порядка 529
II Дифференциальные уравнения второго порядка ...... .545
III Системы дифференциальных уравнений первого порядка ..... 555
IV Системы дифференциальных уравнений второго порядка . . . .557
Часть 1
Часть 2
