Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. - М., 2001. -464 с.
Задачник составлен применительно к учебнику А.И. Кострикина "Введение в алгебру" (Т. 1. "Основы алгебры", Т. 2. "Линейная алгебра", Т. 3. "Основные структуры алгебры") и учебному пособию А.И. Кострикина, Ю.И. Манина "Линейная алгебра и геометрия".
Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обязательным курсам: "Высшая алгебра" и "Линейная алгебра и геометрия", а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ..............................................7
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
Глава I. Множества и отображения ..........................................................11
§ 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов ... 11
§ 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты........................12
§ 3. Перестановки......................................................................14
§ 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция ..........19
§ 5. Суммирование ..................................................................21
Глава II. Арифметические пространства и линейные уравнения ........................23
§ 6. Арифметические пространства .........................................23
§ 7. Ранг матрицы ................................................27
§ 8. Системы линейных уравнений.....................................................30
Глава 3. Определители .......................................................39
§ 9. Определители второго и третьего порядков ....................................39
§ 10. Выражение определителя. Индуктивное определение ................40
§ 11. Основные свойства определителя ............................................41
§ 12. Разложение определителя по строке и столбцу ............................43
§ 13. Определители и элементарные преобразования ............................45
§ 14. Вычисление определителей специального вида..............................48
§ 15. Определитель произведения матриц ..........................................50
§ 16. Дополнительные задачи .....................................................51
Глава IV. Матрицы ..............................................................56
§ 17. Действия над матрицами....................................................56
§ 18. Матричные уравнения. Обратная матрица ....................................60
§ 19. Матрицы специального вида ................................................65
Глава V. Комплексные числа....................................................68
§ 20. Комплексные числа в алгебраической форме ................................68
§ 21. Комплексные числа в тригонометрической форме ......................70
§ 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга.....................72
§ 23. Вычисления с помощью комплексных чисел....................................75
§ 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости ..............77
Глава VI. Многочлены .........................................................82
§ 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида ....................................82
§ 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики ............................................................................83
§ 27. Разложение на неприводимые множители над R и С ................86
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями .............................................................................87
§ 29. Рациональные дроби ..................................................91
§ 30. Интерполяция ........................................................92
§ 31. Симметрические многочлены и формулы Виета..........................93
§ 32. Результант и дискриминант ...........................................99
§ 33. Распределение корней ..............................................101
ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава VII. Векторные пространства .................................................104
§ 34. Понятие векторного пространства. Базисы ....................................104
§ 35. Подпространства ............................................................107
§ 36. Линейные функции и отображения...........................................114
Глава VIII. Билинейные и квадратичные функции ......................117
§ 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции ......................117
§ 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции ................126
Глава IX. Линейные операторы .................................. 133
§ 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора............................................ 133
§ 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства,
корневые подпространства ................................... 137
§ 41. Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен 143
§ 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы . 150
Глава X. Метрические векторные пространства.............. 156
§ 43. Геометрия метрических пространств ........................ 156
§ 44. Сопряжённые и нормальные операторы ...................... 164
§ 45. Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичных
функций к главным осям ..................................... 169
§ 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение ............. 172
Глава XI. Тензоры ..................................................178
§ 47. Основные понятия ............................................ 178
§ 48. Симметрические и кососимметрические тензоры .................... 181
Глава ХII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия.................184
§ 49. Аффинные пространства ..................................... 184
§ 50. Выпуклые множества......................................... 191
§ 51. Евклидовы пространства..................................... 196
§ 52. Гиперповерхности второго порядка .......................... 201
§ 53. Проективные пространства .................................. 208
ЧАСТЬ III ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Глава XIII. Группы ................................................213
§ 54. Алгебраические операции. Полугруппы ........................213
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп............................214
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы .... 221
§ 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости 227
§ 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы,
центр ............................ 233
§ 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков ............. 238
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы ... 241
§ 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения...... 248
§ 62. Разрешимые группы.......................................... 252
Глава XIV. Кольца ................................................. 256
§ 63. Кольца и алгебры ............................................ 256
§ 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца ...................... 263
§ 65. Специальные классы алгебр .................................. 275
§ 66. Поля .......................................................... 281
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа............................. 286
§ 68. Конечные поля................................................ 299
Глава XV. Элементы теории представлений ................... 302
§ 69. Представления групп. Основные понятия .................... 302
§ 70. Представления конечных групп .............................. 308
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними ...................... 313
§ 72. Характеры представлений.................................... 319
§ 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп .......325
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ.............................................. 329
Приложение. Теоретические сведения .................................443
§ I. Аффинная и евклидова геометрия ................................443
§ II. Гиперповерхности второго порядка .............................446
§ III. Проективные пространства ....................................448
§ IV. Тензоры .....................................................449
§ V. Элементы теории представлений .................................450
§ VI. Список определений ..........................................453
§ VII. Список обозначений ........................................460
