Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М., 2004. — 560 с.
Книга посвящена матричному исчислению. В ней наряду с собственно теорией матриц содержится изложение ряда математических проблем, решение которых достигается применением развитой матричной техники. Большое внимание уделено вопросам интегрирования и проблеме устойчивости систем дифференциальных уравнений.
Четвертое издание — 1988 г.
Для студентов старших курсов и аспирантов (математиков, механиков, физиков и др.), а также для математиков, программистов, механиков, физиков и инженеров, использующих матричный математический аппарат.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к первому изданию..........................................................7
Предисловие редактора ко второму изданию....................................................10
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 1. Матрицы. Основные обозначения............................................................11
§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц........................................13
§ 3. Квадратные матрицы............................................................................22
§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы..............................27
§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица......................30
ГЛАВА II. АЛГОРИТМ ГАУССА И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Метод исключения Гаусса......................................................................39
§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса........................................43
§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра....................................................45
§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители......................47
§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами.
Обобщенный алгоритм Гаусса ................................................................53
ГЛАВА III ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В n-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторное пространство........................................................................63
§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в ш-мерное ... 67
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов............................................69
§ 4. Преобразование координат......................................................................71
§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра..............72
§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя ... 76
§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора ... 79
§ 8. Линейные операторы простой структуры..................................................81
ГЛАВА IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ И МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕНЫ
МАТРИЦЫ
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов........................................84
§ 2. Правое и левое деления матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу . 86
§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица............89
§ 4. Метод Д.К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы ....................................93
§ 5. Минимальный многочлен матрицы..........................................................95
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ
§ 1. Определение функции матрицы..............................................................99
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра ................103
§ 3. Другие формы определения f{A). Компоненты матрицы А.............106
§4. Представление функций матриц рядами .........................111
§ 5. Некоторые свойства функций от матриц.........................114
§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами............119
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы.................125
ГЛАВА VI. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы ...............130
§ 2. Канонический вид Л-матрицы................................133
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы 137
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов...........................142
§ 5. Критерий подобия матриц...................................144
§ 6. Нормальные формы матрицы.................................145
§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)..........................149
§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы..................152
§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы .................156
ГЛАВА VII. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В п-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ДЕЛИТЕЛЕЙ)
§ 1. Минимальный многочлен вектора, пространства (относительно заданного линейного оператора)........................................165
§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами....................................167
§ 3. Сравнения. Надпространство.................................169
§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства . 171
§ 5. Нормальная форма матрицы .................................175
§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители.................178
§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы..........................181
§ 8. Метод А.Н. Крылова преобразования векового уравнения..............183
ГЛАВА VIII МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение АХ = ХВ......................................193
§ 2. Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы.................197
§ 3. Уравнение АХ -ХВ = С...................................200
§ 4. Скалярное уравнение f{X) = 0................................201
§ 5. Матричное многочленное уравнение............................202
§ 6. Извлечение корня n-й степени из невырожденной матрицы............205
§ 7. Извлечение корня n-й степени из вырожденной матрицы .............208
§ 8. Логарифм матрицы........................................212
ГЛАВА IX. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Общие соображения.......................................215
§ 2. Метризация пространства...................................215
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов...................218
§ 4. Ортогональное проектирование ...............................220
§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства.....222
§ 6. Ортогонализация ряда векторов...............................225
§ 7. Ортонормированный базис...................................230
§ 8. Сопряженный оператор.....................................232
§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве..................235
§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов..............237
§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы.....240
§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли .............................................242
§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве...................246
§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве 252
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы.........................255
§ 16. Псевдообратный оператор...................................257
ГЛАВА Х. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме .................259
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции.....261
§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби.............................................263
§ 4. Положительные квадратичные формы...........................268
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям ..................271
§ 6. Пучок квадратичных форм..................................272
§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм 277
§ 8. Малые колебания системы с п степенями свободы ..................284
§ 9. Эрмитовы формы.........................................288
§ 10. Ганкелевы формы.........................................293
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА XI. КОМПЛЕКСНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ, КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц . 301
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы ......................305
§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы............307
§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы.........309
§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы..............314
ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение...............................................318
§ 2. Регулярный пучок матриц...................................319
§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении.......................321
§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц...................326
§ 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков . . 328
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм.........................330
§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям ....................334
ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 1. Общие свойства..........................................337
§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц........339
§ 3. Разложимые матрицы......................................349
§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы.........................356
§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы........................360
§ 6. Стохастические матрицы....................................364
§ 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным числом
состояний..............................................368
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы.............................376
§ 9. Осцилляционные матрицы...................................380
ГЛАВА XIV. РАЗЛИЧНЫЕ КРИТЕРИИ РЕГУЛЯРНОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения ..................387
§ 2. Норма матрицы..........................................390
§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы .............392
§ 4. Критерий регулярности Фидлера..............................394
§ 5. Круги Гершгорина и другие области локализации...................395
ГЛАВА XV. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАТРИЦ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия.....................................399
§ 2. Преобразование Ляпунова...................................402
§ 3. Приводимые системы......................................403
§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина...........405
§ 5. Матрицант.............................................408
§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра . . 412
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства.....416
§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области................418
§ 9. Изолированная особая точка .................................422
§ 10. Регулярная особая точка....................................427
§ 11. Приводимые аналитические системы ...........................439
§ 12. Аналитические функции многих матриц и их применение к исследованию
дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского..........442
ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Введение...............................................445
§ 2. Индексы Коши...........................................446
§ 3. Алгоритм Рауса..........................................449
§ 4. Особые случаи. Примеры....................................452
§ 5. Теорема Ляпунова........................................455
§ 6. Теорема Рауса-Гурвица.....................................459
§ 7. Формула Орландо.........................................464
§ 8. Особые случаи в теореме Рауса-Гурвица.........................466
§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена..........................................469
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга ..................471
§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты
числители и знаменателя....................................473
§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса-Гурвица....................480
§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса-Гурвица. Критерий устойчивости Лье-
нара и Шипара...........................................483
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стилтьеса. Представление
многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей...............487
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова.......................493
§ 16. Связь с проблемой моментов.................................496
§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова.......499
§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева................................501
§ 19. Обобщенная задача Рауса-Гурвица.............................507
ДОБАВЛЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ
ЧИСЕЛ (В. Б. Лидский)
§ 1. Мажорирующие последовательности............................509
§ 2. Неравенства Неймана-Хорна.................................512
§ 3. Неравенства Вейля........................................516
§ 4. Максимально-минимальные свойства сумм и произведений собственных чисел эрмитовых операторов...................................518
§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторов ................................................524
§ 6. Другая постановка задачи о спектре суммы и произведения эрмитовых операторов ................................................527
Примечания................................................533
Список литературы...........................................539
Предметный указатель.........................................555
Часть 1
Часть 2
