Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М., 2005. - 408 с.
Книга создана на основе лекций, прочитанных авторами в разные годы на механико- математическом ф-те МГУ им. М. В. Ломоносова. Материал значительно превышает рамки учебного курса, чтобы дать более глубокое представление о разнообразных разделах теории и ее применениях. Сложные доказательства вынесены в «Приложения». «Дополнения и упражнения» помогают в усвоении материала.
Для профессорско-преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов.
Оглавление
Предисловие .............................................. 6
Основные обозначения...................................... 8
Глава I. Случайные процессы.
Распределения случайных процессов................... Ц
Предмет теории случайных процессов, некоторые задачи. Случайные элементы и их распределения. Теорема о монотонных классах. Пополнение вероятностного пространства. Предел измеримых отображений. Построение семейства независимых случайных элементов с заданными распределениями. Процессы частных сумм, эмпирические меры, процессы восстановления, модель страхования Крамера-Лундберга, пуассоновская случайная мера. Цилиндрическая сигма-алгебра Случайная функция как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение. Конечномерные распределения случайной функции. Теорема Колмогорова о согласованных мерах. Характеристическая функция меры на . Условия согласованности мер на евклидовых пространствах в терминах характеристических функций. Описание для бесконечного Т. Процессы с непрерывными траекториями. Согласованность проекций меры. Эквивалентные случайные функции. Измеримые процессы.
Глава II. Процессы с независимыми приращениями.
Пуассоновские и гауссовские процессы ................ 46
Критерий существования процесса с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс. Винеровский процесс (броуновское движение). Многомерное нормальное распределение. Построение действительной гауссовской случайной функции по функции среднего и ковариационной функции. Комплекснозначные гауссовские процессы. Неотрицательно определенные функции как ковариационные функции и как воспроизводящие ядра гильбертовых пространств. Теорема Парзена. Эквивалентность двух определений броуновского движения. Функции Хаара и ПІаудера. Флуктуации последовательности стандартных гауссовских величин. Построение непрерывного винеровского процесса. Многомерное броуновское движение.
Глава III. Броуновское движение.
Свойства траекторий............................... 76
Недифференцируемость п. н. траекторий броуновского движения (винеровского процесса). Марковское свойство винеровского процесса. Фильтрация. Марковские моменты, их примеры, сигма-алгебра , состоящая из событий, наблюдаемых до марковского момента т. Строго марковское свойство винеровского процесса. Принцип отражения. Закон нуля или единицы. Распределения, связанные с максимумом винеровского процесса на [0,t]. Закон повторного логарифма. Локальный закон повторного логарифма.
Глава IV. Мартингалы.
Дискретное и непрерывное время ....................108
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры. Разложение Дуба. Компенсаторы. Дискретный вариант формулы Танака. Расщирение фильтрации. Квадратическая характеристика. Квадратическая вариация. Теорема Дуба о свободном выборе. Применение к случайным блужданиям (задача о разорении). Максимальное и минимальное неравенство Дуба для субмартингалов. Лемма о числе пересечений. Теорема о сходимости субмартингалов. Ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона. Сходимость мартингалов в . Теорема Леви.
Фундаментальная теорема страховой математики. Некоторые неравенства для субмартингалов и мартингалов с непрерывным временем.
Глава V. Слабая сходимость мер.
Принцип инвариантности............................147
Слабая сходимость мер в метрических пространствах. Сходимость случайных элементов по распределению. Критерии слабой сходимости. Сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений. Слабая сходимость мер в пространстве С(Т, S). Относительная слабая компактность и плотность семейства мер. Теорема Прохорова. Принцип инвариантности Донскера-Прохорова. Многомерная центральная предельная теорема Линдеберга, лемма о максимуме сумм независимых случайных величин. Схема доказательства критерия согласия Колмогорова. Броуновский мост как условный винеровский процесс. Метод одного вероятностного пространства, теорема Скорохода. Метризация слабой сходимости. Метрика Леви-Прохорова.
Глава VI. Марковские процессы.
Дискретное и непрерывное время ....................180
Эквивалентные определения марковского процесса. Марковость процессов с независимыми приращениями со значениями в . Примеры. Цепи Маркова, их построение по переходным вероятностям и начальному распределению. Пуассоновский процесс как марковская цепь. Переходная функция марковского процесса. Нахождение переходной функции (/-мерного броуновского движения. Конечномерные распределения марковского процесса, их выражение через начальное распределение и переходную
функцию. Однородные марковские процессы. Эргодическая теорема для однородных цепей Маркова. Следствия. Инвариантная мера. Инфинитезимальная матрица Q стохастической полугруппы Обратная и прямая системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Стационарное распределение как собственный вектор матрицы Q*. Формулы Эрланга. Модель системы массового обслуживания, приводящая к этим формулам.
Глава VII. Стационарные процессы.
Дискретное и непрерывное время....................225
Ортогональные случайные меры и их сг-конечные структурные меры. Построение ортогональной случайной меры, отвечающей данной структурной мере. Интеграл по ортогональной случайной мере, его свойства. Теорема Карунена о факторизации ковариационной функции и представлении процесса в виде интеграла по ортогональной случайной мере. Стационарные в щироком смысле процессы и их ковариационные функции. Теорема Герглотца. Теорема Бохнера-Хинчина. Спектральное представление стационарных процессов с непрерывным и дискретным временем. Эргодичность в L (П). Процессы скользящего среднего. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной плотности. Задача линейного прогноза. Регулярные и сингулярные процессы. Разложение Вольда. Регулярные процессы как физически осуществимые фильтры. Критерий Колмогорова регулярности процесса. Теорема Колмогорова-Сегё.
Глава VIII. Интеграл Ито.
Стохастические дифференциальные уравнения .......276
Стохастический интеграл для простых случайных функций по винеровскому процессу. Конструкция Ито стохастического интеграла для неупреждающих случайных функций. Свойства стохастического интеграла. Формула замены переменных Ито. Уравнение Ланжевена. Процесс Орнщтейна-Уленбека. Теорема существования и единственности сильного решения стохастического дифференциального уравнения. Марковость решения стохастического дифференциального уравнения.
Приложение 1. Доказательство теоремы Колмогорова ...........317
Приложение 2. Доказательство теоремы Прохорова .............323
Приложение 3. Доказательства теорем Линдеберга и Дуба .......327
Приложение 4. Доказательство теоремы Бохнера-Хинчина.......337
Приложение 5. Доказательство теоремы Колмогорова—Сегё ......340
Приложение 6. Доказательство строго марковского свойства
семейства броуновских движений...............344
Приложение 7. Вероятностное решение задачи Дирихле .........354
Приложение 8. Большие уклонения...........................364
Заключительные замечания .................................383
Список литературы.........................................385
Указатель.................................................393
