Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4-е изд. - Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.- 308 с.
Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения) и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс).
Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой но математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложений.
Оглавление
Предисловие к третьему изданию..............................5
Предисловие к первому изданию................................9
Некоторые постоянно употребляемые обозначения .... 11
Глава 1. Основные понятия..............................12
§ 1. Фазовые пространства........................................12
§ 2. Векторные поля на прямой....................................36
§ 3. Линейные уравнения..........................................51
§ 4. Фазовые потоки................................................62
§ 5. Действие диффеоморфизмов на векторные
поля и на поля направлений..................................72
§6. Симметрии......................................................83
Глава 2. Основные теоремы..............................96
§ 7. Теоремы о выпрямлении......................................96
§8. Применения к уравнениям выше первого порядка .... 113
§ 9. Фазовые кривые автономной системы...........127
§ 10. Производная по направлению векторного поля и первые
интегралы...........................132
§ 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с
частными производными...................140
§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы . . . 151
Глава 3. Линейные системы..............................166
§ 13. Линейные задачи.......................166
§ 14. Показательная функция ...................169
§ 15. Свойства экспоненты.....................177
§ 16. Определитель экспоненты..................184
§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты — случай вещественных и различных собственных чисел . . . 189
§ 18. Комплексификация и овеществление............192
§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством ..............................197
§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения 202
§21. Классификация особых точек линейных систем......213
§ 22. Топологическая классификация особых точек.......218
§ 23. Устойчивость положений равновесия............229
§ 24. Случай чисто мнимых собственных чисел.........235
§ 25. Случай кратных собственных чисел............241
§ 26. О квазимногочленах......................252
§ 27. Линейные неавтономные уравнения ............266
§ 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами 281
§ 29. Вариация постоянных.....................290
Глава 4. Доказательства основных теорем..............293
§ 30. Сжатые отображения.....................293
§ 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий..............295
§ 32. Теорема о дифференцируемости...............306
Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях 317
§ 33. Дифференцируемые многообразия .............317
§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии 328
§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем........335
§ 36. Индексы особых точек векторного поля..........339
Программа экзамена........................355
Образцы экзаменационных задач................356
Предметный указатель......................363
