Александров А. Д. Основания геометрии: Учебное пособие для вузов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 288 с.
Содержит изложение оснований евклидовой геометрии, отправляющееся от простой, выводимой из практики системы аксиом геометрии на плоскости. За ним следуют выводы, создающие мост от аксиом к обычному изложению элементарной геометрии, включая учение о площади. Далее — аксиомы геометрии в пространстве, отвлеченное понимание аксиоматики, непротиворечивость и др., затем — сравнительное изложение разных систем аксиом, общее понятие об аксиоматическом методе, очерк развития оснований геометрии и общие выводы об отношении геометрии к действительности.
Для студентов вузов, изучающих основания геометрии. Книга будет полезна учителям средней школы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....... ... .... 5
Глава 1. Практические основания геометрии . . . 9
Введение ................9
§ 1. Отрезки .............
§ 2. Угол..............16
§ 3. Прямоугольник . ..........15
§ 4. Измерение ................20
§ 5. Свойства численного выражения длины ... . 22
§ 6. Фигуры . . ..........23
Глава 2. Аксиоматические основания геометрии .... 26
§ 7. Основные понятия . ..........26
§ 8. Аксиомы планиметрии . . . . . . . . . 28
§ 9. Об аксиоме откладывания угла . . 35
§ 10. Основные свойства равенства отрезков и углов 37
§ 11. Понятие фигуры....... . . 39
Глава 3. Геометрия отрезков . . . . ... . 46
§ 12. О продолжении и наложении отрезков . . . 46
§ 13. Алгебра отрезков .. 49
§ 14. Деление отрезка пополам . . . . . 52
§ 15. Измерение отрезков . . . . .......55
§ 16. Прямая и луч. . . . . . .... 60
§ 17. Координаты на прямой . . . . . ..64
Глава 4 Геометрия на плоскости 69
§ 18. Углы, треугольники, построения . . . . .. . 69
§ 19. О взаимном расположении отрезков . . . . 76
§ 20. Алгебра углов........... 80
§ 21. Параллельные отрезки и прямые ...... 86
§ 22. О плоских фигурах. Полуплоскость ..... 94
§ 23. Треугольники и многоугольники.......68
§ 24. Граница, внутренность, открытые множества 104
§ 25. Координаты на плоскости........107
§ 26. Равенство фигур . . , , . . . . . . 110
Глава 5. Отвлеченное понимание аксиоматики . . ... .. . 113
§ 27. Разные понимания аксиоматики. Аксиомы как определения...........,113
§ 28. Понятия интерпретации и непротиворечивости аксиоматики ....... 117
§ 29. Понятие изоморфизма. Полнота системы аксиом 120
§ 30. Числовая модель планиметрии......123
§ 31. Величина............131
§ 32. Аксиоматический метод. Понятие группы, метрического и топологического пространств ... 132
Глава 6. Разные системы аксиом ..... 142
§ 33. Чем могут различаться системы аксиом .... 142
§ 34. Вариант системы аксиом планиметрии .... 146
§ 35. Система аксиом Гильберта.......154
§ 36. Аксиомы с понятием наложения......159
§ 37. Незамкнутые системы аксиом......162
§ 38. Независимость аксиом........169
§ 39. Независимость аксиомы параллельных .... 171
§ 40. Геометрия Лобачевского........178
Глава 7. Геометрия пространства........181
§ 41. Аксиомы стереометрии....... . 131
§ 42. Оснований стереометрии в другом изложении . . 186
§ 43. Пространственные аксиомы Гильберта .... 191
§ 44. Общее понятие евклидова пространства .... 193
§ 45. Другие геометрии..........193
§ 46. Векторное пространство и векторная аксиоматика
евклидовой геометрии.........204
§ 47. Исследование аксиом евклидова пространства . . 211
Глава 8. Площадь и объем . . ........216
§ 48. Определение площади.........213
§ 49. Определение «площади» измерением.....224
§ 50. Аддитивность «площади» . ......227
§ 51. Фигуры с определенной «площадью».....230
§ 52. Площади равных многоугольных фигур .... 232
§ 53. Окончание доказательства теоремы I из § 48 .. . 236
§ 54. Площадь немногоугольных фигур: теоремы II... 238
§ 55. Еще о фигурах с определенной площадью . . . 242
§ 56. Объем.............243
Глава 9. Очерк развития оснований геометрии .... 249
§ 57. Начало геометрии — до Евклида . . . ... 243
§ 58. «Начала» Евклида...........252
§ 59. От Евклида до Лобачевского.......257
§ 60. Переворот в геометрии........261
§ 61. От Евклида до Гильберта — от геометрической наглядности до геометрической бессмыслицы . . . 265
§ 62. Анализ предмета геометрии.......270
§ 63. Диалектика геометрии (в ее содержании) . . 275
§ 64 Диалектика геометрии (в ее построении) . . . 280
