Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кри-щенко. - М.: Иэд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVIII).
Книга является восемнадцатым выпуском учебного комплекса " Математика в техническом университете", состоящего из двадцати выпусков, и знакомит читателя с основными понятиями теории случайных процессов и некоторыми из ее многочисленных приложений. По замыслу авторов, данный учебник должен явиться связующим звеном между строгими математическими исследованиями, с одной стороны, и практическими задачами — с другой. Он должен помочь читателю овладеть прикладными методами теории случайных процессов.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 12
Введение 19
1. Исходные понятия и определения 26
1.1. Случайная функция, случайный процесс и случайная последовательность...............26
1.2. Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса...............31
Вопросы и задачи.......................42
2. Некоторые типы случайных процессов............47
2.1. Стационарные случайные процессы.............47
2.2. Нормальные процессы.................50
2.3. Процессы с независимыми приращениями..............52
2.4. Винеровский процесс....................55
2.5. Марковские процессы....................59
2.6. Пуассоновский процесс.....................61
Вопросы и задачи........................62
3. Элементы стохастического анализа 66
3.1. Сходимость в смысле среднего квадратичного (СК-сходимость).................67
3.2. Непрерывность случайного процесса ................79
3.3. Дифференцируемость случайного процесса............82
3.4. Интегрируемость случайного процесса................90
3.5. Действие линейного оператора на случайный процесс........98
3.6. Эргодические случайные процессы..................106
Вопросы и задачи...............113
4. Спектральная теория стационарных случайных процессов.......121
А. 1. Стационарные случайные процессы с дискретным спектром ...................122
4.2. Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром................133
4.3. Белый шум..................143
4.4. Преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему...................148
Вопросы и задачи................155
5. Марковские процессы с дискретными состояниями и цепи Маркова.......163
5.1. Основные понятия ....................163
5.2. Цепи Маркова...............166
5.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний........170
5.4. Процесс гибели — размножения и циклический процесс........180
Вопросы и задачи...................186
6. Элементы теории массового обслуживания ......191
6.1. Процессы массового обслуживания (основные понятия) .......191
6.2. Простейший поток.................................193
6.3. Время ожидания и время обслуживания...........199
6 4. Основные принципы построения марковских моделей массового обслуживания..................200
6.5. Системы массового обслуживания с ожиданием...........206
6.6. Стационарный режим функционирования системы обслуживания (основные понятия и соотношения) ........209
6.7. Стационарные режимы функционирования некоторых вариантов систем обслуживания .............213
Вопросы и задачи................223
7. Стохастические модели состояния ...........227
7.1. Случайные возмущения в динамической системе ...........227
7.2. Линейные стохастические дифференциальные уравнения ............237
7.3. Стохастические интегралы и дифференциалы .........253
Вопросы и задачи...............272
8. Марковские процессы с непрерывными состояниями........277
8.1. Общие свойства марковских процессов............278
8.2. Уравнения Колмогорова.....................280
8.3. Стохастические модели состояния и уравнения Колмогорова ...........288
8.4. Постановки задач для нахождения условной функции плотности вероятностей ..................298
8.5. Три характерные задачи теории марковских случайных процессов с непрерывными состояниями..........304
Вопросы и задачи..................317
9. Элементы статистики случайных процессов ......323
9.1. Данные наблюдений .................323
9.2. Статистические моменты случайного процесса ..........328
9.3. Постановка задачи оценивания параметров случайного процесса.........335
9.4. Эффективные оценки. Неравенство Рао — Крамера.......338
9.5. Единственность решения задачи оценивания параметров случайного процесса...........344
9.6. Метод максимального правдоподобия................355
9.7. Метод наименьших квадратов.................367
Вопросы и задачи..................371
10. Оценивание параметров стохастических моделей состояния ......375
10.1. Еще раз о стохастической модели состояния..........375
10.2. Единственность решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния ....382
10.3. Выбор наблюдаемых переменных....................387
10.4. Специфика задачи оценивания при наличии ошибок измерений........392
10.5. Фильтр Калмана...................396
10.6. Оценивание параметров при наличии ошибок измерений ..............405
Вопросы и задачи.....................409
Приложение 1. Основные понятия теории вероятностей........413
Приложение 2. Матричная экспонента.....428
Список рекомендуемой литературы ......438
Предметный указатель......440
