Самойленко Н.И., Кузнецов А.И., Костенко А.Б. Теория вероятностей ОНЛАЙН

Самойленко Н.И., Кузнецов А.И., Костенко А.Б. Теория вероятностей: Учебник. – Х.: Издательство НТМТ, ХНАГХ. – 2009. – 200 с.
Учебник знакомит с основными понятиями и методами теории вероятностей. Приведенные методы иллюстрируются типовыми примерами. Каждая тема заканчивается практическим разделом для самостоятельного приобретения навыков по использованию методов теории вероятностей при решении стохастических задач.
Для студентов высших учебных заведений.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................7
ВВЕДЕНИЕ..............................................................8
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ............................................10
1.1. Классическое определение вероятности..............................10
1.1.1. Необходимость и случайность..................................10
1.1.2. Основные определения........................................11
1.1.3. Классическое определение вероятности..........................14
1.2. Элементы комбинаторики..........................................17
1.2.1. Основные принципы комбинаторики............................17
1.2.1.1. Правило сложения........................................17
1.2.1.2. Правило умножения......................................17
1.2.2. Основные виды комбинаторных соединений......................18
1.2.2.1. Перестановки............................................18
1.2.2.2. Размещения..............................................19
1.2.2.3. Сочетания................................................20
1.2.2.4. Полезные соотношения....................................20
1.2.3. Примеры комбинаторных задач................................21
1.3. Алгебра событий................................................22
1.3.1. Пространство событий........................................22
1.3.2. Операции над событиями......................................24
1.3.2.1. Сумма событий............................................25
1.3.2.2. Произведение событий....................................26
1.3.3. Свойства операций сложения и умножения......................26
1.4. Практикум и вопросы для самоконтроля...............27
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ..............................................35
2.1. Основные теоремы теории вероятностей............................35
2.1.1. Вероятность суммы событий..................................35
2.1.2. Полная группа событий и противоположные события..............36
2.1.3. Зависимые и независимые события..............................37
2.1.4. Условная вероятность..........................................38
2.1.5. Вероятность произведения событий............................39
2.2. Модели надежности технических систем............................41
2.2.1. Надежность технических систем................................41
2.2.2. Последовательное соединение элементов........................43
2.2.3. Параллельное соединение элементов..............45
2.2.4. Смешанное соединение элементов..............................46
2.3. Практикум и вопросы для самоконтроля...............47
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ................................50
3.1. Алгебра гипотез..................................................50
3.1.1. Формула полной вероятности..................................50
3.1.2. Формула Байеса..............................................53
3.1.3. Надежность систем с мостовым соединением элементов......55
3.2. Повторение опыта................................................57
3.2.1. Задачи на повторение независимых опытов........................57
3.2.2. Формула Бернулли............................................59
3.2.3. Локальная теорема Лапласа....................................60
3.2.4. Интегральная теорема Лапласа..................................62
3.2.5. Наивероятнейшее число наступления событий....................63
3.3. Практикум и вопросы для самоконтроля..............................66
4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ..........................................69
4.1. Формы задания дискретных случайных величин......................69
4.1.1. Основные определения........................................69
4.1.2. Формы задания закона распределения дискретной случайной величины....................................................70
4.1.2.1. Ряд распределения........................................70
4.1.2.2. Интегральная функция распределения........................71
4.1.3. Пример построения закона распределения........................72
4.1.4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. . 74
4.2. Формы задания непрерывной случайной величины и её свойства .... 76
4.2.1. Интегральная функция распределения............................76
4.2.2. Вероятность конкретного значения непрерывной случайной величины....................................................77
4.2.3. Плотность распределения вероятности..........................78
4.2.4. Свойства плотности распределения вероятности..................79
4.2.5. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный участок............................................80
4.3. Числовые характеристики случайных величин........................81
4.3.1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси. . 81
4.3.1.1. Математическое ожидание..................................81
4.3.1.2. Мода....................................................83
4.3.1.3. Медиана................................................84
4.3.2. Моменты случайных величин..................................84
4.3.2.1. Начальные моменты......................................84
4.3.2.2. Центральные моменты....................................85
4.3.3. Свойства моментов случайных величин..........................85
4.3.3.1. Первый начальный момент..................................86
4.3.3.2. Первый центральный момент................................86
4.3.3.3. Второй начальный момент..................................86
4.3.3.4. Второй центральный момент................................87
4.3.3.5. Связь дисперсии с начальными моментами....................88
4.3.4. Среднее квадратичное отклонение..............................88
4.3.5. Моменты высоких порядков....................................89
4.3.5.1. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. ... 89
4.3.5.2. Четвертый центральный момент и величина эксцесс............90
4.4. Практикум и вопросы для самоконтроля..............................91
5. ЧАСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ...............100
5.1. Законы распределения дискретных случайных величин........100
5.1.1. Биномиальный закон распределения..............100
5.1.1.1. Общая характеристика биномиальной случайной величины ... 100
5.1.1.2. Числовые характеристики биномиальной случайной величины . 101
5.1.2. Закон распределения Пуассона.................103
5.1.2.1. Простейший поток событий................103
5.1.2.2. Общая характеристика пуассоновской случайной величины. . . 104
5.1.2.3. Числовые характеристики пуассоновской случайной величины . 106
5.1.2.4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок.....................107
5.2. Законы распределения непрерывных случайных величин.......108
5.2.1. Равномерный закон распределения...............108
5.2.1.1. Общая характеристика...................108
5.2.1.2. Числовые характеристики.................110
5.2.1.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный
отрезок.......... 111
5.2.2. Показательный закон распределения..............112
5.2.2.1. Общая характеристика..................112
5.2.2.2. Числовые характеристики.................113
5.2.2.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок................................................114
5.2.3. Нормальный закон распределения...............115
5.2.3.1. Общая характеристика...................115
5.2.3.2. Числовые характеристики.................116
5.2.3.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок................................................117
5.2.3.4. Правило трех сигм....................119
5.3. Распределения, производные от нормального распределения......120
5.3.1. Распределение Пирсона....................120
5.3.2. Распределение Стьюдента...................121
5.3.3. Распределение Фишера....................121
5.4. Практикум и вопросы для самоконтроля...............122
6. СЛУЧАЙНБІЕ ВЕКТОРБІ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНБІХ АРГУМЕНТОВ . . 128
6.1. Случайные векторы.......................128
6.1.1. Интегральная функция распределения случайного вектора.....128
6.1.2. Вероятность попадания случайного вектора на заданный участок . . 130
6.1.3. Плотность распределения случайного вектора..........131
6.1.4. Условные законы распределения................132
6.1.5. Числовые характеристики случайного вектора..........133
6.2. Функции случайных аргументов..................135
6.2.1. Числовые характеристики функции случайных аргументов.....135
6.2.2. Теоремы о числовых характеристиках функции случайных аргументов..................................................137
6.2.3. Закон распределения функции случайных аргументов.......141
6.3. Практикум и вопросы для самоконтроля..............143
7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ......................146
7.1. Закон больших чисел.......................146
7.1.1. Теорема Бернулли......................146
7.1.2. Закон больших чисел в форме Чебышева.............147
7.1.2.1. Неравенство Чебышева..................147
7.1.2.2. Теорема Чебышева....................147
7.1.2.3. Проверка закона больших чисел..............148
7.1.2.4. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.......150
7.2. Усиленный закон больших чисел..................151
7.2.1. Теорема Бореля.......................151
7.2.2. Теорема Колмогорова.....................153
7.2.3. Основная теорема статистики.................154
7.3. Центральная предельная теорема..................156
7.3.1. Содержание центральной предельной теоремы..........156
7.3.2. Теорема Линдеберга.....................157
7.3.3. Теорема Ляпунова......................157
7.3.4. Сумма одинаково распределенных случайных величин.......158
7.4. Практикум и вопросы для самоконтроля...............161
ОТВЕТЫ................................162
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ......................184
БИБЛИОГРАФИЯ............................193
ПРИЛОЖЕНИЯ.............................194