Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с: ил.
В книге излагаются основные разделы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Рассматриваются методы получения точных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; значительное внимание уделяется вопросам существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от исходных данных. Приводятся методы решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, линейных и нелинейных уравнений первого порядка в частных производных; обсуждаются вопросы качественного исследования этих решений. Основы вариационного исчисления рассматриваются по причине тесной связи данного раздела высшей математики с теорией дифференциальных уравнений. Книга предназначена для студентов высших учебных заведений.
Оглавление
Предисловие 6
Некоторые обозначения 7
Введение 8
1 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений 12
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка................................................. 12
§2. Методы решения простейших дифференциальных ургшнений
первого порядка.............................................. 18
§3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра и задача Коши 34
§4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия и методы решения.................................... 41
2 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с постоянными коэффициентами 52
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения
линейных уравнений с постоянными коэффициентами...... 52
§2. Линейные однородные уравнения порядка n с постоянными
коэффициентами.............................................. 57
§3. Линейные неоднородные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.......................................... 65
3 Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 73
§ 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами. Общие понятия и метод исключения............... 73
§2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
с постоянными коэффициентами............................. 76
§3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами ........................ 88
§4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами с помощью матричной экспоненты.......... 94
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения
дифференциальных уравнений............................... 103
§6. Методы решения произвольных линейных систем с постоянными коэффициентами..............................................................................108
4 Исследование задачи Коши 113
§1. Вспомогательные предложения..............................................................113
§2. Существование и единственность решения задачи Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений................117
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши............................................127
§4. Общее решение дифференциального уравнения..........................132
§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных. Корректность задачи Коши............................135
§6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения......................................................................145
5 Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами 152
§1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений с переменными коэффициентами..................152
§2. Линейные однородные системы............................................................158
§ 3. Линейные неоднородные системы........................................................167
6 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с переменными коэффициентами 171
§1. Общие свойства............................................................................................171
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка тг................................174
§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п............................179
§4. Граничные задачи........................................................................................185
§5. Теорема Штурма..........................................................................................193
§6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя....................................199
§7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной............................................................205
7 Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений и теория устойчивости 212
§ 1. Общие свойства............................................................................................212
§2. Классификация положений равновесия линейной однородной
системы второго порядка........................................................................222
§3. Нелинейные автономные системы второго порядка..................230
§4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия....................241
§5. Первые интегралы ......................................................................................251
8 Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка 261
Введение...................................................................261
§ 1. Линейные однородные уравнения........................................................263
§2. Квазилинейные уравнения.........................................................271
§3. Нелинейные уравнения............................................................................281
9 Основы вариационного исчисления 289
Введение............................................................................................................289
§1. Простейшая вариационная задача..........................................................291
§2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай
функционалов более общего интегрального типа..................................301
§ 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной
границей и задача Больца..........................................................................310
§ 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
функционалов............................................................................................318
§5. Изопериметрическая задача....................................................................322
§6. Задача Лагранжа........................................................................................326
§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума..........................331
Литература 341
Предметный указатель 343
