Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М., 1965. - 520 с.
С момента выхода в свет первого издания настоящей книги прошло свыше десяти лет. За это время происходило как всестороннее развитие функционального анализа, так и интенсивное проникновение идей и методов функционального анализа в различные разделы математики, да и не только математики. Функциональным анализом начинают все более широко пользоваться механики и инженеры, не говоря уже о физиках, которые одни из первых стали применять функционально-аналитические понятия и методы в своих теоретических исследованиях. Поэтому нет необходимости обосновывать значимость функционального анализа и его место в системе математических дисциплин.
Развитие функционального анализа и все возрастающий интерес к нему со стороны широких кругов математиков, физиков и механиков имели следствием появление ряда превосходных курсов и монографий, посвященных общему функциональному анализу.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию.............. 8
Введение. Обобщение основных понятий анализа, геометрии и алгебры............ 7
Глава I. Метрические пространства........... 11
§ 1. Функциональная зависимость. Пространство. Упорядоченность ................ 11
§ 2. Метрические пространства.............. 15
§ 3. Примеры метрических пространств ........ 19
§ 4. Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств.............. 29
§ 5. Пополнение метрических пространств........ 33
§ 6. Теоремы о полных пространствах.......... 40
§ 7. Принцип сжатых отображений ........... 43
§ 8. Сепарабельные пространства........... 53
Глава II. Линейные нормированные пространства ....57
§ 1. Линейные пространства............... 57
§ 2. Линейные нормированные пространства....... 68
§ 3. Линейные топологические пространства....... 77
§ 4. Абстрактное гильбертово пространство....... 83
§ 5. Обобщенные производные и пространства С. Л. Соболева ............. 95
Глава III. Линейные операторы.............122
§ 1. Линейные операторы...............122
§ 2. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах .........133
§ 3. Линейные функционалы...............143
§ 4. Пространство линейных ограниченных операторов ....... 145
§ 5. Обратные операторы................153
§ 6. Пространство Банаха с базисом..........164
Глава IV. Линейные функционалы............172
§ 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия.......173
§ 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах...........180
§ 3. Сопряженные пространства и сопряженные операторы .....196
§ 4. Слабая сходимость последовательностей функционалов и элементов ........212
Глава V. Компактные множества в метрических и нормированных пространствах .......... 222
§ 1. Определения. Общие теоремы ........222
§ 2. Критерии компактности множеств в некоторых функциональных пространствах..........236
§ 3. Универсальность пространства С [0, 1].......256
Глава VI. Вполне непрерывные операторы.......260
§ 1. Вполне непрерывные операторы..........261
§ 2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами.............268
§ 3. Принцип Шаудера и его применения........287
§ 4. Полная непрерывность оператора вложения С. Л. Соболева...................295
Глава VII. Элементы спектральной теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве...305
§ 1. Самосопряженные операторы............305
§ 2. Унитарные операторы. Проекционные операторы . . . 310
§ 3. Положительные операторы. Квадратный корень из положительного оператора..........317
§ 4. Спектр самосопряженного оператора.........322
§ 5. Спектральное разложение самосопряженного оператора 333
§ 6. Неограниченные линейные операторы. Основные понятия и определения...........349
§ 7. Самосопряженные операторы и теория расширений симметрических операторов..........359
§ 8. Спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора. Функции самосопряженного
оператора ..............370
§ 9. Примеры неограниченных операторов........390
Глава VIII. Некоторые вопросы дифференциального и интегрального исчислений в линейных нормированных пространствах .................. 406
§ 1. Дифференцирование и интегрирование абстрактных функций числового аргумента ........... 406
§ 2. Разностные схемы и теорема Лакса .......423
§ 3. Дифференциал абстрактной функции.........434
§ 4.Теорема об обратном операторе. Метод Ньютона....441
§ 5. Однородные формы и многочлены..........449
§ 6. Дифференциалы и производные высших порядков......456
§ 7. Дифференцирование функций двух переменных......465
§ 8. Теорема о неявных функциях............467
§ 9. Приложения теоремы о неявных функциях......473
§ 10. Касательные многообразия.............480
§ 11. Задачи на экстремум................489
Дополнения ........................493
Литература . ...................512
Предметный указатель....................514
