Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М., 1972.
Автор книги — известный французский математик, труды которого уже знакомы советскому читателю по их переводам (Латтес Р., Лионе Ж.-Л., «Метод квазиобращеиия и его приложения», «Мир», 1970; Лионе Ж-Л., Мадженес Э., «Неоднородные граничные задачи и их приложения», «Мир», 1971). Его новая монография посвящена некоторым методам решения нелинейных уравнений в частных производных. Эти методы применяются для решения уравнений гидродииамикя, теории упругости, квантовой механики, теории оптимального управления и т. д. Ряд уравнений математической физики рассматривается в моно- ' графической литературе впервые.
Методичность и ясность изложения делают книгу интересной и доступной для широкого круга читателей — математиков, физиков, специалистов в области механики и теории управлении, а также аспирантов и студентов старших курсов этих специальностей.
Оглавление
Предисловие редактора перевода
Предисловие
Глава 1. Метод компактности
1. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении, возникающем в релятивистской квантовой механике
1.1. Постановка задачи
1.2. Функциональные пространства
1.3. Первая теорема существования
1.4. Доказательство теоремы 1.1
1.5. Теорема единственности
1.6. Один результат о гладкости
1.7. Другой результат о гладкости. Специальные базисы
1.8. Энергетическое неравенство и равенство
1.9. Различные замечания
2. Примеры и контрпримеры в том случае, когда нет глобальных априорных оценок
2.1. Гиперболическое уравнение без глобальных априорных оценок
2.2. Множество W
2.3. Теорема устойчивости
2.4. Одна теорема о несуществовании
2.5. Замечание
3. Другой пример нелинейного гиперболического уравнения
3.1. Постановка задачи
3.2. Теорема существования и единственности
4. Задачи о нелинейных колебаниях
4.1. Эволюционные уравнения
4.2. Модифицированное эволюционное уравнение
4.3. Стационарный случай
4.4. Стационарный случай; гладкость
5. Леммы о компактности
5.1. Общие указания
5.2. Леммы о компактности
5.3. Применение теоремы 5.1
6. Уравнения Навье-Стокса (эволюционный случай)
6.1. Постановка задачи
6.2. Случай пространства размерности 2. Единственность
6.3. Специальный базис
6.4. Доказательство теоремы существования 6.1; первый метод
6.5. Доказательство теоремы существования; второй метод
6.6. Теорема о гладкости
6.7. Теорема о существовании глобального сильного решения
6.8. Теорема единственности
6.9. Зависимость от вязкости
7. Уравнение Навье--Стокса (стационарный случай)
7.1. Однородная задача
7.2. Неоднородная задача
8. Пример одного сильно нелинейного параболического уравнения
8.1. Постановка задачи
8.2. Априорные оценки. Общие замечания
8.3. Применение оценок
8.4. Формулировка теоремы
8.5. Доказательство леммы 8.1
8.6. Доказательство существования в теореме 8.1
8.7. Доказательство единственности в теореме 8.1
9. Задачи о сопряжении и парные задачи
9.1. Одна параболико-гиперболическая задача о сопряжении
9.2. Парные уравнения
10. Нелинейное уравнение типа Шредингера
10.1. Постановка задачи
10.2. Теорема существования и единственности
11. Нелинейные уравнения на многообразии без края и с краем
10.1. Постановка задачи
11.2. Задача на многообразии Г
11.3. Результаты
11.4. Случай многообразия с краем
12. Нелинейные вырождающиеся эволюционные уравнения
12.1. Постановка задачи
12.2. Один дополнительный результат о компактности
12.3. Решение задачи
13. Проблемы
14. Комментарии
Глава 2. Метод монотонности и метод монотонности и компактности
1. Монотонные параболические уравнения
1.1. Примеры. Случай р > 2
1.2. Доказательство существования
1.3. Доказательство единственности
1.4. Один общий результат
1.5. Приложения общих результатов
1.6. Результаты о гладкости
1.7. Сумма монотонных операторов
2. Стационарные задачи
2.1. Первый общий результат
2.2. Теорема единственности. Отображения двойственности
2.3. Примеры
2.4. Псевдомонотонные операторы
2.5. Операторы вариационного исчисления. Аксиоматическое изучение
2.6. Операторы вариационного исчисления. Примеры
3. Замена основного пространства. Приложения
3.1. Общие замечания
3.2. Пример. Нелинейная задача о диффузии
3.3. Задача со свободной границей
4. Нелинейные эволюционные задачи на многообразии
4.1. Постановка задачи
4.2. Оператор A
4.3. Эквивалентная задача на Г
5. Один класс модификаций уравнений Навье-Стокса. Метод компактности и монотонности
5.1. Общие соображения. Постановки задач
5.2. Теорема существования для задачи 5.1
5.3. Одна теорема единственности
5.4. Изучение задачи 5.3
6. Метод монотонности и нелинейные гиперболические уравнения
6.1. Постановка задачи. Теорема существования и единственности
6.2. Доказательство существования
6.3. Доказательство единственности
7. Метод аппроксимации эволюционных операторов стационарными
7.1. Общие соображения
7.2. Теорема существования для абстрактных эволюционных уравнений
7.3. Приложения (I). Параболические уравнения
7.4. Приложения (И). Периодические задачи
7.5. Приложения (III).
7.6. Приложения (IV)
7.7. Различные замечания
8. Эллиптические вариационные неравенства
8.1. Примеры и общие указания
8.2. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств
8.3. Совокупность решений
8.4. Приложения
8.5. Варианты
8.6. Интерпретация вариационных неравенств с помощью субдифференциалов
8.7. Гладкость
8.8. Теоремы о сравнении
8.9. Другой тип примеров
9. Эволюционные параболические неравенства
9.1. Постановки задач
9.2. Условия согласования. Примеры
9.3. Теорема существования "слабого" решения
9.4. Теорема единственности "слабого" решения
9.5. Приложения
9.6. Теоремы о гладкости.
9.7. Различные замечания
10. Различные дополнения
10.1. Эволюционные уравнения
10.2. Эволюционные неравенства
11. Проблемы
12. Комментарии
Глава 3. Метод регуляризации и метод штрафа
1. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения
1.1. Общие указания
1.2. Леммы о максимальности
1.3. Первая теорема существования, Доказываемая с помощью эллиптической регуляризации
1.4. Вторая теорема существования, доказываемая с помощью эллиптической регуляризации
2. Приложения
2.1. Общие параболические задачи
2.2. Общие параболические задачи. Периодические решения
2.3. Нелинейные гиперболические системы первого порядка
2.4. Нелинейные гиперболические уравнения первого порядка и нелинейные уравнения переноса
2.5. Нелинейные уравнения Шредингера
2.6. Одно нелинейное уравнение, меняющее тип
2.7. Нелинейные параболические задачи в нецилиндрических областях
2.8. Нелинейные задачи смешанного типа
3. Параболическая регуляризация и гиперболические вариационные неравенства
3.1. Постановка задач
3.2. Один общий результат
3.3. Приложения
4. Параболическая регуляризация и уравнение Кортвега-де Фриса
4.1. Постановка задачи. Интегралы энергии
4.2. Теорема существования. Параболическая регуляризация
4.3. Различные замечания
5. Метод штрафа и эллиптические вариационные неравенства
5.1. Общие указания
5.2. Операторы штрафа
5.3. Применение метода штрафа
5.4. Примеры
5.5. Результаты о гладкости
5.6. Различные замечания
6. Метод штрафа и параболические эволюционные вариационные неравенства
6.1. Общий метод
6.2. Примеры и приложения к вопросам гладкости
6.3. Ненулевые начальные данные
6.4. Односторонние задачи (или неравенства) для операторов Навье-Стокса (I)
6.5. Односторонние задачи (или неравенства) для операторов Навье-Стокса (II)
7. Метод штрафа и гиперболические эволюционные вариационные неравенства
7.1. Линейные операторы
7.2. Примеры
7.3. Примеры неравенств для нелинейных гиперболических операторов
8. Метод штрафа и нелинейные задачи в нецилиндрических областях
8.1. Один гиперболический пример
8.2. Различные замечания
9. Другие типы приближений
9.1. Приближение эллиптических неравенств параболическими
9.2. Новые односторонние задачи
10. Приближение многозначных операторов с помощью регуляризации
10.1. Многозначные гиперболические уравнения
10.2. Многозначные гиперболические неравенства
11. Проблемы
12. Комментарии
Глава 4. Итерационные методы. Частные решения
1. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей
1.1. Общие указания
1.2. Семидискретизация и вариационные неравенства
1.3. Пространственная семидискретизация; применение к одному параболическому уравнению
2. Аппроксимация посредством расщепления
2.1. Одна задача Т. Карлемана. Формулировка теоремы
2.2. Доказательство единственности
2.3. Метод расщепления
2.4. Априорные оценки
2.5. Предельный переход. Доказательство теоремы существования
3. Аппроксимация посредством срезки
3.1. Постановка задачи. Формулировка результата
3.2. Метод срезки
3.3. Доказательство теоремы 3.1
3.4. Пример одного неравенства
4. Аппроксимация с помощью систем типа Коши-Ковалевской
4.1. Общие указания
4.2. Уравнения Навье-Стокса
4.3. Уравнения на многообразии
5. Последовательные приближения
5.1. Общие замечания
5.2. Уравнение partial u/partial t - Delta u-u1+alpha = 0
5.3. Одно нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в пространстве типа Жеврея
6. Периодические решения. Параболический случай
6.1. Общие указания
6.2. Периодические решения уравнений Навье-Стокса
6.3. Замечания об односторонних задачах
7. Периодические решения. Гиперболический случай
7.1. Общие указания
7.2. Решение гиперболической задачи (7.7), (7.8) с помощью эллиптической регуляризации
7.3. Периодические решения гиперболических неравенств
8. Поведение при больших t
8.1. Общие указания
8.2. Ограниченные на Rt решения эволюционных уравнений с монотонными параболическими операторами
8.3. Случай параболических неравенств
8.4. Различные замечания
9. Некоторые примеры нелинейных уравнений в частных производных, связанных с теорией оптимального управления
9.1. Общие указания
9.2. Задачи об управлении без ограничений
9.3. Аппроксимация посредством искусственной эволюционной задачи
9.4. Расцепление искусственной эволюционной задачи
9.5. Расцепление исходной задачи управления
9.6. Примеры
9.7. Различные замечания
10. Проблемы
11. Комментарии
Библиография
Основные обозначения
Указатель типов уравнений
