Ф. Хартман Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М., 1970. - 720 с.
Книга Ф.Хартмана - одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений - возникла на основе различных курсов, которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал. Далее следует изложение качественной теории дифференциальных уравнений, в котором особый интерес представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направления дальнейшего развития теории. Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ..................................5
Из предисловия автора....................................9
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ........................11
§ 1. Вводные замечания..................................11
§ 2. Основные теоремы....................................13
§ 3. Гладкие аппроксимации..............................16
§ 4. Замена переменных в интегралах......................18
Примечания............................................18
ГЛАВА II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ..........................19
§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа........................19
§ 2. Теорема Пеано ......................................21
§ 3. Теорема о продолжении решения......................24
§ 4. Теорема Кнезера ....................................28
§ 5. Пример неединственности ............................31
Примечания............................................35
ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ЕДИНСТВЕННОСТЬ .................37
§ 1. Неравенство Гронуолла ..............................37
§ 2. Максимальные и минимальные решения................38
§ 3. Правые производные..................................39
§ 4. Дифференциальные неравенства........................40
§ 5. Теорема Уинтнера....................................43
§ 6. Теоремы единственности..............................45
§ 7. Теорема единственности ван Кампена..................50
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова....................52
§ 9. Последовательные приближения ......................57
Примечания............................................60
ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .... 62
§ 1. Линейные системы ..................................62
§ 2. Вариация постоянных................................65
§ 3. Редукция к системам меньшего порядка..............67
§ 4. Основные неравенства................................72
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами..............75
§ 6. Теория Флоке ......................................78
§ 7. Сопряженные системы................................81
§ 8. Линейные уравнения высших порядков..............82
§ 9. Замечания о замене переменных......................88
ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ....................90
§ 10. Фундаментальные матрицы ..........................90
§ 11. Простые особенности................................94
§ 12. Уравнения высших порядков........................106
§ 13. Кратные особенности................................110
Примечания............................................115
ГЛАВА V. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ ...117
§ 1. Предварительные замечания..........................117
§ 2. Непрерывность......................................118
§ 3. Дифференцируемость ................................119
§ 4. Существование производных высших порядков .... 125
§ 5. Внешние производные................................126
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости..........130
§ 7. S- и L-липшицевы формы............................134
§ 8. Теорема единственности...................136
§ 9. Лемма....................................137
§ 10. Доказательство теоремы 8.1.........................138
§ 11. Доказательство теоремы 6.1..........................140
§ 12. Первые интегралы..................................142
Примечания............................................144
ГЛАВА VI. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ....................145
ЧАСТЬ I. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА................................145
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах................145
§ 2. Алгебра внешних форм..............................149
§ 3. Теорема Фробениуса ................................152
§ 4. Доказательство теоремы 3.1..........................155
§ 5. Доказательство леммы 3.1..........................J58
§ 6. Система (1Л)........................................159
ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ)................163
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных ... 163
§ 8. Характеристики......................................168
§ 9. Теорема существования и единственности............170
§ 10. Лемма Хаара и единственность......................173
Примечания............................................176
ГЛАВА VII. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ-БЕНДИКСОНА..................178
§ 1. Автономные системы ................................178
§ 2. Теорема об индексе..................................180
§ 3. Индекс стационарной точки..........................184
§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона ....................186
§ 5. Устойчивость периодических решений................192
§ 6. Точки вращения ....................................195
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки......................196
§ 8. Секторы............................................199
§ 9. Стационарная точка общего вида....................204
§ 10. Уравнения второго порядка..........................214
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ
МНОГООБРАЗИЯХ..............................................................222
§11. Предварительные сведения ..........................223
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона............226
§ 13. Каскады на замкнутой кривой........................232
§ 14. Потоки на торе......................................238
Примечания............................................244
ГЛАВА VIII. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ............246
§ 1. Теорема существования ..............................246
§ 2. Характеристические направления......................254
§ 3. Системы, близкие к линейным........................257
§ 4. Более общие стационарные точки......................266
Примечания............................................273
ГЛАВА IX. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 275
§ 1. Инвариантные многообразия ........................275
§ 2. Отображения Т^ ....................................278
§ 3. Модификация функции F ..........................279
§ 4. Приведение системы к нормальному виду............281
§ 5. Инвариантные многообразия отображения............282
§ 6. Существование инвариантных многообразий..........291
§ 7. Линеаризации........................................293
§ 8. Линеаризация отображения..........................294
§ 9. Доказательство теоремы 7.1..........................300
§ 10. Периодические решения............................301
§ 11. Предельные циклы.............. . 304
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ....................307
§ 12. Гладкие линеаризации ..............................307
§ 13. Доказательство леммы 12.1..........................311
§ 14. Доказательство теоремы 12.2........................313
Примечания............................................324
ГЛАВА X. ВОЗМУЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ................326
§ 1. Случай О ......................................326
§ 2. Топологический принцип ............................332
§ 3. Теорема Важевского ................................335
§ 4. Подготовительные леммы............................338
§ 5. Доказательство леммы 4.1..........................346
§ 6. Доказательство леммы 4.2............................347
§ 7. Доказательство леммы 4.3............................347
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала 350
§ 9. Доказательство теоремы 8.2..........................354
§ 10. Доказательство теоремы 8.3..........................355
§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение)..............357
§ 12. Доказательство теоремы 11.2........................360
§ 13. Асимптотическое интегрирование......................361
§ 14. Доказательство теоремы 13.1........................364
§ 15. Доказательство теоремы 13.2........................368
§ 16. Следствия и уточнения..............................369
§ 17. Линейные уравнения высших порядков................372
Примечания............................................379
ГЛАВА XI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА..........381
§ 1. Предварительные сведения ..........................381
§ 2. Основные факты ....................................385
§ 3. Теоремы Штурма....................................393
§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля................397
§ 5. Число нулей........................................407
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения . . . 414
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях............427
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи ..................................................436
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи ..................................................442
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК........................453
§ 10. Системы без сопряженных точек......................453
§ 11. Обобщения..........................................467
Примечания............................................472
ГЛАВА XII. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ....................475
ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ..............
§ 1. Линейные уравнения..................................478
§ 2. Нелинейные задачи..................................485
ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 491
§ 3. Линейные задачи ....................................491
§ 4. Нелинейные задачи ..................................496
§ 5. Априорные оценки....................................502
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ....................................
§ 6. Основные факты......................................511
§ 7. Функции Грина......................................516
§ 8. Нелинейные уравнения ..............................519
§ 9. Асимптотическое интегрирование......................523
Примечания............................................526
ГЛАВА XIII. ДИХОТОМИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 528
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ......................................^29
§ 1. Обозначения и определения..........................529
§ 2. Предварительные леммы..............................533
§ 3. Оператор Т ........................................541
§ 4. Оценки для II Py{t) II................................545
§ 5. Оценки для у (t) ..................................551
§ 6. Приложения к системам первого порядка............555
§ 7. Приложения к системам высшего порядка............560
§ 8. Р (B, D)-многообразия ..............................567
ЧАСТЬ II. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ..........................^^^
§ 9. Ассоциированные пространства ......................568
§ 10. Оператор Т'........................................570
§ 11. Индивидуальные дихотомии..........................571
§ 12. Р'-допустимые пространства для Т'..................575
§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям .... 579
§ 14. Существование PD-решений..........................582
Примечания..........................................584
ГЛАВА XIV. МОНОТОННОСТЬ....................................585
ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ..............................^^^
§ 1. Большие и малые решения........................585
§ 2. Монотонные решения................................591
§ 3. Линейные уравнения второго порядка................596
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение) 602
ЧАСТЬ II. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ .... 607
§ 5. Постановка задачи..................................607
§ 6. Случай Л > 0 ......................................607
§ 7. Случай Л<0 ......................................612
§ 8. Случай Л = 0 ......................................620
§ 9. Асимптотическое поведение............. 623
ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ ..........627
§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом................627
§ 11. функции Ляпунова..................................629
§ 12. Переменная матрица G............... 631
§ 13. О следствии 11.2....................................637
§ 14. ......................640
§ 15. Доказательство теоремы 14.2........................643
§ 16. 14.1........................647
Примечания............................................647
УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ......................................649
ЛИТЕРАТУРА......................................................685
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ............................................710 Часть 1
Часть 2
