Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. - Минск, 1979. - 744 с.
Рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и вообще анализ и классификация решений дифференциальных уравнений. В третьем издании расширена и использована при исследовании качественных вопросов глава «Теория подвижных особых точек в вещественной области», новая по методам и результатам и имеющая как теоретическое, так и прикладное значение. Шире рассматриваются в новом, издании и вопросы качественной теории и методы обнаружения и построения периодических решений в области центра и изолированных периодических решений. Добавлена и новая XIV глава «Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений».
Книга рассчитана на математиков, физиков и инженеров-теоретиков. Она будет полезна и студентам старших курсов механико-математических и физических факультетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вместо предисловия..........................7
Глава 1. Элементарные методы
§ 1. Определения............ . . 13-
§ 2. Общее, частное и особое решения........15
§ 3. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 18
§ 4. Однородные уравнения...........26
§ 5. Уравнения, приводящиеся к однородному......49
§ 6. Линейное уравнение............51
§ 7. Уравнение Риккати............63
§ 8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах . 78
§ 9. Интегрирующий множитель..........81
§ 10. Строгое определение общего решения.......84
§ 11. Особое решение.............87
§ 12. Интеграл...............88
§ 13. Уравнения, не разрешенные относительно у'.....94
§ 14. Решение в параметрическом виде.........95
§ 15. Частные случаи дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно у'..............100
§ 16. Расположение интегральных кривых в окрестности границы области D(x, у)..............112
Глава II. Системы дифференциальных уравнений
§ 1. Определения..............126
§ 2. Интегралы системы............129
§ 3. Уравнение n-то порядка...........142
§ 4. Приведение уравнения n-то порядка к системе п уравнений первого порядка и наоборот..........146
§ 5. Частные случаи уравнения n-то порядка.......149
Глава III. Теоремы существования
§ 1. Голоморфные функции и мажоранты.......154
§ 2. Теорема Коши.............157
§ 3. Линейные системы............162
§ 4. Теорема Пикара.............165
§ 5. Частные случаи теоремы Пикара........171
§ 6. Область существования решения........173
§ 7. Непрерывная зависимость решений от параметров . . . . 183
§ 8. Дифференцируемость по параметру........187
§ 9. Теоремы о существовании решений в максимальной области,
зависящей от параметра...........191
§ 10. Построение решений во всей области существования . . . 203
§ 11. Существование общего решения........207
§ 12. Устойчивость по Ляпунову. Еще об общем решении . . . 213
§ 13. Существование дифференцируемых полных интегралов . . 222
Глава IV. Линейное уравнение n-го порядка
§ 1. Общая, теория линейного уравнения.......
§ 2. Однородное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами..............
§ 3. Примеры ..............
Глава V. Системы линейных уравнений
§ 1. Общая теория однородных систем........252
§ 2. Неоднородная система...........256
§ 3. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами 258
§ 4. О матрицах..............261
§ 5. Общее исследование системы (3.1)........267
§ 6. Матричный метод ...........274
§ 7. Теорема о преобразовании системы (6.1) в каноническую вещественную систему............276
§ 8. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами .............282
Глава VI. Вопросы устойчивости
§ 1. Устойчивость по Ляпунову..........285
§ 2. Теорема Ляпунова............287
§ 3. Устойчивость решений линейных систем.......292
§ 4. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами ................294
§ 5. Второй метод Ляпунова...........310
Глава VII. Линейные уравнения в частных производных первого порядка
Введение.................314
§ 1. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
в частных производных...........315
§ 2. Построение решения задачи Коши . .......316
§ 3. Решение задачи Коши для однородного уравнения с n независимыми переменными...........320
§ 4. Неоднородное уравнение...........324
§ 5. Задача Коши для неоднородного уравнения.....336
§ 6. Общая задача Коши для неоднородного уравнения . . . 345
Глава VI И. Метод преобразований и метод особых решений
§ 1. Общая теория метода...........351
§ 2. Признаки интегрируемости уравнения (1.1) в замкнутой форме 359
§ 3. Метод последовательных преобразований......367
§ 4. Эвристический метод преобразований.......370
§ 5. Осуществимость преобразований........375
§ 6. Метод преобразований в системах........381
Глава IX. Решения с особыми начальными значениями. Уравнение
Введение.................387
§ 1. Уравнение у'=Р(х, y)/Q(x, у)........391
§ 2. Уравнение Врио и Буке...........408
§ 3. Теорема Пуанкаре............431
Глава X. Сравнение решений полного и укороченного дифференциальных уравнений
§ 1. О функциональных соотношениях между исчезающими функциями ................443
§ 2. Случай, когда y(t) и z(t)—решения дифференциальных
уравнений..............445
§ 3. Представление решений полного уравнения через измененное
укороченное..............451
§ 4. Общий метод доказательства существования разложения (1.1) 456
§ 5. Продолжение § 4.............459
Глава XI. Разнотемные замечания
§ 1. О стационарных интегралах.........465
§ 2. Интегралы системы (1.1), не зависящие от t.....474
§ 3. Построение систем дифференциальных уравнений, имеющих
заданную интегральную кривую.........480
§ 4. О периодических решениях..........482
§ 5. Гамильтоновы системы двух уравнений......489
§ 6. Система Гамильтона, варьированная относительно системы
(5.22)................................494
§ 7. Задачи Пуанкаре о периодических решениях.....500
§ 8. Метод неподвижных точек..........512
§ 9. Принцип кольца............516
§ 10. Предельные циклы и построение решений вблизи предельных
циклов...............522
§ 11. Уравнение Риккати............52 і
Глава XII. Дифференциальные уравнения с малым параметром
§ 1. Сравнение задач с малым параметром.......526
§ 2. Замечания о преобразованиях рядов.......529
§ 3. Система x=f{x, t, te, е)...........530
§ 4. Нелинейные уравнения...........534
§ 5. Уравнение .......543
§ 6. Уравнения с малым параметром при старшей производной . 548
§ 7. Примеры тихоновских систем.........564
Глава XIII. Теория подвижных особых точек в вещественной области
Введение.................571
§ 1. Системы, решения которых существуют в области —оо
Часть 1
Часть 2
