Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу - М., 2000. - 639 с
Книга является учебником по курсу математического анализа, посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных и соответствует программе для высших учебных заведений, рекомендованной Министерством образования РФ. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ...................................... 5
ЧАСТЬ I
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
ЛЕКЦИЯ 1
§ 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения и функции.............. 9
ЛЕКЦИЯ 2
§ 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума................. 16
ЛЕКЦИЯ 3
§ 3. Вещественные числа............................. 21
ЛЕКЦИЯ 4
§ 4. Полнота множества вещественных чисел............. 28
§ 5. Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков......................... 32
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ЛЕКЦИЯ 5
§ 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.......................... 34
§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.................................. 37
ЛЕКЦИЯ 6
§ 3. Предел последовательности....................... 42
§ 4. Предельный переход в неравенствах................ 45
ЛЕКЦИЯ 7
§ 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число е и постоянная Эйлера.......... 48
ЛЕКЦИЯ 8
§ 6. Теорема Больцано—Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности ................54
§ 7. Критерий Коши для сходимости последовательности ... 56
Глава 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ ЛЕКЦИЯ 9
§ 1. Понятие предела числовой функции................ 58
§ 2. База множеств. Предел функции по базе............. 60
ЛЕКЦИЯ 10
§ 3. Переход к пределу в неравенствах.................. 66
§ 4. Критерий Коши существования
предела функции по базе......................... 66
ЛЕКЦИЯ 11
§ 5. Эквивалентность определений сходимости
по Коши и по Гейне............................. 69
§ 6. Теоремы о пределе сложной функции............... 70
§ 7. Порядок бесконечно малой функции................ 73
Глава 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ ЛЕКЦИЯ 12
§ 1. Свойства функций, непрерывных в точке............ 75
§ 2. Непрерывность элементарных функций.............. 77
ЛЕКЦИЯ 13
§ 3. Замечательные пределы.......................... 79
§ 4. Непрерывность функции на множестве.............. 81
ЛЕКЦИЯ 14
§ 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке .... 88
ЛЕКЦИЯ 15
§ 6. Понятие равномерной непрерывности............... 91
§ 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции, непрерывные на компакте.................... 92
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ЛЕКЦИЯ 16
§ 1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции.......................... 96
ЛЕКЦИЯ 17
§ 2. Дифференцирование сложной функции.............. 100
§ 3. Правила дифференцирования...................... 103
ЛЕКЦИЯ 18
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков..... 106
§ 5. Возрастание и убывание функции в точке............ 111
ЛЕКЦИЯ 19
§ 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа....................................113
ЛЕКЦИЯ 20
§ 7. Следствия из теоремы Лагранжа......................................117
§ 8. Некоторые неравенства......................................................118
§ 9. Производная функции, заданной параметрически............119
ЛЕКЦИЯ 21
§ 10. Раскрытие неопределенностей.................... 121
ЛЕКЦИЯ 22
§ 11. Локальная формула Тейлора..................... 127
§ 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.................. 131
ЛЕКЦИЯ 23
§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям.................134
ЛЕКЦИЯ 24
§ 14. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость.............. 137
ЛЕКЦИЯ 25
§ 15. Точки перегиба................................ 144
ЛЕКЦИЯ 26
§ 16. Интерполирование............................. 148
ЛЕКЦИЯ 27
§ 17. Метод хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления.......................151
Глава 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ЛЕКЦИЯ 28
§ 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции...... 156
ЛЕКЦИЯ 29
§ 2. Свойства неопределенного интеграла................ 159
ЛЕКЦИЯ 30
Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств.............163
ЧАСТЬ II
Интеграл Римана. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ЛЕКЦИЯ 1
§ 1. Введение...................................... 173
§ 2. Определение интеграла Римана.................... 175
ЛЕКЦИЯ 2
§ 3. Критерий интегрируемости функции по Риману....... 180
ЛЕКЦИЯ 3
§ 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману.............185
§ 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману .....................186
§ 6. Метод интегральных сумм........................ 189
ЛЕКЦИЯ 4
§ 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе....... 193
§ 8. Классы функций, интегрируемых по Риману......... 197
ЛЕКЦИЯ 5
§ 9. Свойства определенного интеграла.................. 200
§ 10. Аддитивность интеграла Римана.................. 204
Глава 8. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
ЛЕКЦИЯ 6
§ 1. Интеграл Римана как функция от его верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла..............206
§ 2. Теорема Ньютона—Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля............207
ЛЕКЦИЯ 7
§ 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле...............211
§ 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении интеграла....................................212
ЛЕКЦИЯ 8
§ 5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме..........................217
§ 6. Неравенства, содержащие интегралы................ 221
ЛЕКЦИЯ 9
§ 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману...................224
§ 8. Доказательство критерия Лебега................... 225
Глава 9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЛЕКЦИЯ 10
§ 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода...............229
§ 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов.............231
§ 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле...........232
ЛЕКЦИЯ 11
§ 4. Несобственные интегралы второго рода..............235
§ 5. Формулы замены переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле..............236
Глава 10. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ ЛЕКЦИЯ 12
§ 1. Кривые в многомерном пространстве ...............239
§ 2. Теорема о длине дуги кривой.....................241
Глава II. МЕРА ЖОРДАНА
ЛЕКЦИЯ 13
§ 1. Площадь плоской фигуры и объем тела. Определение меры Жордана......................244
§ 2. Критерий измеримости множества по Жордану........ 246
ЛЕКЦИЯ 14
§ 3. Свойства меры Жордана......................250
§ 4. Измеримость спрямляемой кривой................252
§ 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции ...............254
Глава 12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА
ЛЕКЦИЯ 15
§ 1. Определение и свойства меры Лебега...............257
ЛЕКЦИЯ 16
§ 2. Интеграл Лебега...........................263
ЛЕКЦИЯ 17
§ 3. Интеграл Стильтьеса............................269
Глава 13. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ЛЕКЦИЯ 18
§ 1. Определения и основные свойств пространств.........276
ЛЕКЦИЯ 19
§ 2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии..................282
§ 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве..............283
§ 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений...................286
ЛЕКЦИЯ 20
§ 5. Непрерывные отображения метрических пространств...................288
§ 6. Понятие компакта. Компакты и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте.................289
§ 7. Связные множества и непрерывность...............293
Глава 14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ЛЕКЦИЯ 21
§ 1. Непрерывные функции в Rn....................... 295
§ 2. Дифференцируемые функции в Rn.................. 298
ЛЕКЦИЯ 22
§ 3. Дифференцирование сложной функции ...............301
§ 4. Производная по направлению. Градиент..............302
§ 5. Геометрический смысл дифференциала ...............303
ЛЕКЦИЯ 23
§ 6. Частные производные высших порядков.............305
§ 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора................307
ЛЕКЦИЯ 24
§ 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных.............311
§ 9. Неявные функции............................313
ЛЕКЦИЯ 25
§ 10. Система неявных функций.....................318
§ 11. Условный экстремум функции многих переменных...................322
§ 12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби..................325
ЧАСТЬ III
Функциональные ряды и параметрические интегралы
Глава 15. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ЛЕКЦИЯ 1
§ 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши..................329
Часть 1
ЛЕКЦИЯ 2
§ 2. Ряды с неотрицательными членами................337
ЛЕКЦИЯ 3
§ 3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами..............342
ЛЕКЦИЯ 4
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница..................350
§ 5. Признаки Абеля и Дирихле......................352
ЛЕКЦИЯ 5
§ 6. Перестановки членов ряда.................354
ЛЕКЦИЯ 6
§ 7. Арифметические операции над сходящимися рядами...............357
ЛЕКЦИЯ 7
§ 8. Двойные и повторные ряды.....................362
Глава 16. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
ЛЕКЦИЯ 8
§ 1. Сходимость функционального ряда................368
§ 2. Равномерная сходимость................371
ЛЕКЦИЯ 9
§ 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности.............374
§ 4. Признаки равномерной сходимости.................375
ЛЕКЦИЯ 10
§ 5. Теорема Дини....................380
§ 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда.................381
ЛЕКЦИЯ 11
§ 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств.......385
ЛЕКЦИЯ 12
§ 8. Степенные ряды.................389
ЛЕКЦИЯ 13
§ 9. Бесконечные произведения..............394
ЛЕКЦИЯ 14
§ 10. Бесконечные определители...............399
§ 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела............402
Глава 17. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ЛЕКЦИЯ........405
§ 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность..............404
§ 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов...........407
ЛЕКЦИЯ 16
§ 3. Теорема Лагранжа..................411
ЛЕКЦИЯ 17
§ 4. Равномерная сходимость по Гейне................413
§ 5. Эквивалентность двух определений равномерной сходимости................415
ЛЕКЦИЯ 18
§ 6. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов..........418
ЛЕКЦИЯ 19
§ 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов.....422
ЛЕКЦИЯ 20
§ 8. Несобственные интегралы второго рода............428
§ 9. Применение теории параметрических интегралов .....430
ЛЕКЦИЯ 21
§ 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода...........432
ЛЕКЦИЯ 22
§ 11. Формула Стирлинга.................437
Глава 18. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
ЛЕКЦИЯ 23
§ 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом. Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса.......................440
ЛЕКЦИЯ 24
§ 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций............449
ЛЕКЦИЯ 25
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы функций ........454
§ 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье.........458
ЛЕКЦИЯ 26
§ 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана..........462
§ 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье .......466
ЛЕКЦИЯ 27
§ 7. Поведение коэффициентов Фурье .................470
§ 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и представление синуса в виде бесконечного произведения................472
§ 9. Задача Кеплера и ряды Бесселя..................474
ЛЕКЦИЯ 28
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейерштрасса................477
§ 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби....................479
ЛЕКЦИЯ 29
§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье............483
ЛЕКЦИЯ 30
§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы..........492
ЧАСТЬ IV
Кратный интеграл Римана. Поверхностные интегралы
Глава 19. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЛЕКЦИЯ 1
§ 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе.........501
§ 2. Суммы Дарбу и их свойства............504
ЛЕКЦИЯ 2
§ 3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике ...........507
§ 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике................510
ЛЕКЦИЯ 3
§ 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры............512
§ 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану........514
ЛЕКЦИЯ 4
§ 7. Основные свойства двойного интеграла............518
§ 8. Переход от двойного интеграла к повторному........519
§ 9. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве.............521
ЛЕКЦИЯ 5
§ 10. Многократные интегралы ..................523
§ 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве ..............526
ЛЕКЦИЯ 6
§ 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле ............529
ЛЕКЦИЯ 7
§ 13. Критерий Лебега ...........................536
ЛЕКЦИЯ 8
§ 14. Несобственные кратные интегралы...............540
ЛЕКЦИЯ 9
§ 15. Площадь поверхности .......................... 547
§ 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом пространстве n измерений............551
Глава 20. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЛЕКЦИЯ 10
§ 1. Криволинейные интегралы....................554
§ 2. Свойства криволинейных интегралов...............555
ЛЕКЦИЯ 11
§ 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина............559
ЛЕКЦИЯ 12
§ 4. Поверхностные интегралы.................563
§ 5. Согласование ориентации поверхности и ее границы ......567
ЛЕКЦИЯ 13
§ 6. Формула Стокса.................570
§ 7. Формула Гаусса—Остроградского.............571
ЛЕКЦИЯ 14
§ 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования ..............576
§ 9. Элементы векторного анализа...............579
ЛЕКЦИЯ 15
§ 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля .........584
Глава 21. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА
ЛЕКЦИЯ 16
§ 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности..............588
§ 2. Согласование ориентаций поверхности и ее границы в общем случае...............590
§ 3. Дифференциальные формы...............592
§ 4. Замена переменных в дифференциальной форме ......593
ЛЕКЦИЯ 17
§ 5. Интеграл от дифференциальной формы............595
§ 6. Операция внешнего дифференцирования ...............597
§ 7. Доказательство общей формулы Стокса ..............599
ЛЕКЦИЯ 18
§ 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье.............603
§ 2. Критерий Г. Вейля....................606
Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам..................615
Литература.....................628
Часть 2
