Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). - М.: Наука, 1977. - 735 с.
В книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе помещены задачи и примеры.
В основу книги положены лекции, читавшиеся на физическом факультете МГУ.
Содержание
Из предисловия к первому изданию 9
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 11
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными 11
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными 18
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами 20
Задачи к главе I 22
Глава II. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач 23
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны 23
2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн 27
3. Энергия колебания струны 28
4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах 30
5. Поперечные колебания мембраны 31
6. Уравнения гидродинамики и акустики 34
7. Граничные и начальные условия 39
8. Редукция общей задачи 44
9. Постановка краевых задач для случая многих переменных 45
10. Теорема единствениости 46
Задачи 49
§ 2. Метод распространяющихся волн 50
1. Формула Даламбера 50
2. Физическая интерпретация 52
3. Примеры 50
4. Неоднородное уравнение 58
5. Устойчивость решений 60
6. Полуограниченная прямая и метод продолжений 64
7. Задачи для ограниченного отрезка 70
8. Дисперсия волн 73
9. Интегральное уравнение колебаний 75
10. Распространение разрывов вдоль характеристик 79
Задачи 80
§ 3. Метод разделения переменных 82
1. Уравнение свободных колебаний струны 82
2. Интерпретация решения 88
3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн 92
4. Неоднородные уравнения 96
5. Общая первая краевая задача 103
6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями 104
7. Задачи без начальных условий 106
8. Сосредоточенная Сила 110
9. Общая схема метода разделения переменных 113
Задачи 120
§ 4. Задачи с данными на характеристиках 121
1. Постановка задачи 121
2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса 123
Задачи 128
§ 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа 128
1. Сопряженные дифференциальные операторы 128
2. Интегральная форма решения 129
3. физическая интерпретация функции Римана 132
4. Уравнения с постоянными коэффициентами 135
Задачи к главе II 139
Приложения к главе II 140
I. О колебании струн музыкальных инструментов 140
II. О колебании стержней 143
III. Колебания нагруженной струны 147
1. Постановка задачи 147
2. Собственные колебания нагруженной струны 148
3. Струна с грузом на конце 152
4. Поправки для собственных значений 153
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн 154
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии 154
2. Ударные волны. Условия динамической совместности 156
3. Слабые разрывы 161
V. Динамика сорбции газов 165
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа 165
2. Асимптотическое решение 169 VI. Физические аналогии 176
Глава III. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач 180
1. Линейная задача о распространении тепла 180
2. Уравнение диффузии 184
3. Распространение тепла в пространстве 185
4. Постановка краевых задач 188
5. Принцип максимального значения 194
6. Теорема единственности 196
7. Теорема единственности для бесконечной прямой 199
§ 2. Метод разделения переменных 200
1. Однородная краевая задача 200
2. Функция источника 205
3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями 207
4. Неоднородное уравнение теплопроводности 214
5. Общая первая краевая задача 217
Задачи 219
§ 3. Задачи на бесконечной прямой 220
1. Распространение тепла на бесконечной прямой, функция источника для неограниченной области 220
2. Краевые задачи для полуограничениой прямой 233
§ 4. Задачи без начальных условий 241
Задачи к главе III 245
Приложения к главе III 246
I. Температурные волны 246
II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры 250
III. Метод подобия в теории теплопроводности 255
1. Функция источника для бесконечной прямой 255
2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности 257
IV. Задача о фазовом переходе 259
V. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова 264
VI. 5-функция 267
1. Определение 5 -функции 267
2. Разложение 5 -функции в ряд Фурье 270
3. Применение 5 -функции к построению функции источника 272
Глава IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 276
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач 276
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля 277
3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат 279
4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа 282
5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного 283
6. Преобразование обратных радиусов-векторов 286
§ 2. Общие свойства гармонических функции 287
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения 287
2. Некоторые основные свойства гармонических функций 293
3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи 297
4. Задачи с разрывными граничными условиями 298
5. Изолированные особые точки 299
6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности 301
7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач 303
8. Вторая краевая задача. Теорема единственности 305
§ 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных 309
1. Первая краевая задача для круга 339
2. Интеграл Пуассона 314
3. Случай разрывных граничных значений 316
§ 4. Функция источника 318
1. функция источника для уравнения Deltau=0 и ее основные свойства 319
2. Метод электростатических изображений и функция источника для 323 сферы
3. Функция источника для круга 326
4. Функция источника для полупространства 327
§ 5. Теория потенциала 329
1. Объемный потенциал 329
2. Плоская задача. Логарифмический потенциал 331
3. Несобственные интегралы 333
4. Первые производные объемного потенциала 340
5. Вторые производные объемного потенциала 343
6. Поверхностные потенциалы 346
7. Поверхности и кривые Ляпунова 350
8. Разрыв потенциала двойного слоя 352
9. Свойства потенциала простого слоя 356
10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач 359
11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам 364
Задачи к главе IV 369
Приложения к главе IV 371
I. Асимптотическое выражение объемного потенциала 371
I. Задачи электростатики 373
III. Основная задача электроразведки 379
IV. Определение векторных полей 385
V. Применение метода конформного преобразования в электростатике 389
VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике 392
VII. Бигармоническое уравнение 398
1. Единственность решения 399
2. Представление бигармонических функций через гармонические функции 400
3. Решение бигармонического уравнения для круга 402
Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Задача с начальными условиями 403
1. Уравнение колебаний в пространстве 403
2. Метод усреднения 405
3. Формула Пуассона 406
4. Метод спуска 408
5. Физическая интерпретация 410
6. Метод отражения 412
§ 2. Интегральная формула 414
1. Вывод интегральной формулы 414
2. Следствия из интегральной формулы 417
§ 3. Колебания ограниченных объемов 420
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны 420
2. Колебания прямоугольной мембраны 426
3. Колебания круглой мембраны 430
Задачи к главе V 436
Приложения к главе V 437
I. Приведение уравнении теории упругости к уравнениям колебаний 437
II. Уравнения электромагнитного поля 440
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия 440
2. Потенциалы электромагнитного поля 444
3. Электромагнитное поле осциллятора 446
Глава VI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве 462
1. Функция температурного влияния 482
2. Распространение тепла в неограниченном пространстве 456
§ 2. Распространение тепла в ограниченных телах 460
1. Схема метода разделения переменных 460
2. Остывание круглого цилиндра 464
3. Определение критических размеров 466
§ 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами 468
1. Формула Грниа для уравнения теплопроводности и функция источника 468
2. Решение краевой задачи 472
3. функция источника для отрезка 474
§ 4. Тепловые потенциалы 476
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя 476
2. Решение краевых задач 479
Задачи к главе VI 480
Приложения к главе VI 481
I. Диффузия облака 481
II. О размагничивании цилиндра с обмоткой 484
Глава VII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Основные задачи, приводящие к уравнению Δv + cv=0 489
1. Установившиеся колебания 489
2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях 490
3. Диффузия в движущейся среде 490
4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Δv + cv=0 491
§ 2. Функции влияния точечных источников 493
1. Функции влияния точечных источников 493
2. Интегральное представление решения 495
3. Потенциалы 498
§ 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения 501
1. Уравнение Δу + cv=0 в неограниченном пространстве 501
2. Принцип предельного поглощения 502
3. Принцип предельной амплитуды 504
4. Условия излучения 505
§ 4. Задачи математической теории дифракции 510
1. Постановка задачи 510
2. Единственность решения задачи дифракции 511
3. Дифракция на сфере 515
Задачи к главе VII 521
Приложения к главе VII 523
I. Волны в цилиндрических трубах 523
II. Электромагнитные колебания в полых резонаторах 534
1. Собственные колебания цилиндрического эидовибратора 534
2. Электромагнитная энергия собственных колебаний 538
3. Возбуждение колебаний в эидовибраторе 540
III. Скни-эффект 542
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли 547
Дополнение I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
§ 1. Основные понятия 552
1. Сетки и сеточные функции 553
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов 554
3. Разностная задача 560
4. Устойчивость 561
§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 563
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами 565
2. Погрешность аппроксимации 566
3. Энергетическое тождество 568
4. Устойчивость 572
5. Сходимость и точность 576
6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами 577
7. Метод баланса. Консервативные схемы 578
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами 582
9. Трехслойные схемы 588
10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки 590
11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений 592
§ 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле 596
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа 596
2. Принцип максимума 601
3. Оценка решения неоднородного уравнения 603
4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле 604
5. Решение разностных уравнений методом простой итерации 606
§ 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными 608
1. Многомерные схемы 608
2. Экономичные схемы 610
3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле 619
Дополнение II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение 624
2. Общее уравнение теории специальных функций 626
3. Поведение решений в окрестности х=а, если к(а)=0 627
4. Постановка краевых задач 629
Часть I. Цилиндрические функции 632
§ 1. Цилиндрические функции 632
1. Степенные ряды 633
2. Рекуррентные формулы 637
3. Функции полуцелого порядка 638
4. Асимптотический порядок цилиндрических функций 639
§ 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя 642
§ 3. Различные типы цилиндрических функций 645
1. Функции Ханкеля 645
2. Функции Ханкеля и Неймана 647
3. Функции мнимого аргумента 649
4. Функция K0(x) 651
§ 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных интегралов 655
1. Контурные интегралы 655
2. функции Ханкеля 657
3. Некоторые свойства гамма-функции 658
4. Интегральное представление функции Бесселя 660
5. Интегральное представление К^(х) 662
6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций 663
§ 5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя 666
1. Интеграл Фурье-Бесселя 666
2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя 668
Часть II. Сферические функции 671
§ 1. Полиномы Лежандра 672
1. Производящая функция и полиномы Лежандра 672
2. Рекуррентные формулы 673
3. Уравнение Лежандра 674
4. Ортогональность полиномов Лежандра 675
5. Норма полиномов Лежандра 676
6. Нули полиномов Лежандра 677
7. Ограниченность полиномов Лежандра 677
§ 2. Присоединенные функции Лежандра 678
1. Присоединенные функции 678
2. Норма присоединенных функций 679
3. Замкнутость системы присоединенных функций 680
§ 3. Гармонические полиномы и сферические функции 682
1. Гармонические полиномы 682
2. Сферические функции 683
3. Ортогональность системы сферических функций 687
4. Полнота системы сферических функций 689
5. Разложение по сферическим функциям 690
§ 4. Некоторые примеры применения сферических функций 694
1. Задача Дирихле для сферы 695
2. Проводящая сфера в поле точечного заряда 695
3. Поляризация шара в однородном поле 696
4. Собственные колебания сферы 698
5. Внешняя краевая задача для сферы 701
Часть III. Полиномы Чебышева-Эрмнта и Чебышева-Лагерра
§ 1. Полиномы Чебышева-Эрмита 703
1. Дифференциальная формула 703
2. Рекуррентные формулы 704
3. Уравнение Чебышева-Эрмита 704
4. Норма полиномов 705
5. функции Чебышева-Эрмита 706
§ 2. Полиномы Чебышева-Лагерра 706
1. Дифференциальная формула 706
3. Уравнение Чебышева-Лагерра 707
4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра 708
5. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра 709
§ 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера 710
1. Уравнение Шредингера 710
2. Гармонический осциллятор 712
3. Ротатор 713
4. Движение электрона в кулоновом поле 714
Часть IV. Формулы, таблицы и графики 718
I. Основные свойства специальных функции 718
II. Таблицы 723
III. Графики специальных функций 726
IV. Различные ортогональные системы координат 728
