Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М., 2002. - 432 с.
Книга содержит точные решения около 1200 нелинейных уравнений математической физики и механики. Рассматриваются уравнения параболического, гиперболического, эллиптического и других типов. Описано много новых решений нелинейных уравнений. Особое внимание уделено уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций. Помимо уравнений второго порядка рассматриваются также уравнения третьего, четвертого и более высоких порядков. В целом справочник содержит больше нелинейных уравнений математической физики и точных решений, чем любые другие книги.
Приведены решения уравнений, встречающихся в различных областях теоретической физики, механики и химической технологии (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамике, нелинейной акустике, теории горения, нелинейной оптике, ядерной физике и др.).
В приложении описаны методы обобщенного и функционального разделения переменных. Рассмотрены конкретные примеры применения этих методов для построения точных решений нелинейных уравнений с частными производными.
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, физики, механики, теории управления и инженерных наук.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................................9
Некоторые обозначения и замечания ................................................10
1. Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной............11
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями ...................................11
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями...............................39
1.3. Уравнения с гиперболическими нелинейностями......................44
1.4. Уравнения с логарифмическими нелинейностями ......................................46
1.5. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями ...........................48
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции .................................50
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения ............................88
2. Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными..............98
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными....................................98
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными.........................113
3. Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной..........121
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями....................................121
3.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями............................135
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры................................142
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции .....................................149
3.5. Уравнения вида ..................................................174
4. Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными ...... 179
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры................................179
4.2. Уравнения, содержащие произвольные функции...................................186
5. Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными................190
5.1. Уравнения со степенными нелинейностями ........................................190
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями..........................201
5.3. Уравнения, содержащие другие нелинейности............................206
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции .................................211
6. Уравнения эллиптического типа с тремя и более независимыми переменными ...... 231
6.1. Уравнения с тремя независимыми переменными ........................................231
7. Уравнения смешанного типа ......................................................238
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной...........................238
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных ........................246
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения ......................................259
8. Уравнения второго порядка общего вида ...............................264
8.1. Эволюционные уравнения .............................................................264
8.2. Уравнения, содержащие вторые производные обеих переменных ..........................278
9. Уравнения третьего порядка ......................................................282
9.1. Уравнение Кортевега — де Фриза и родственные уравнения ...........................282
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя...............................291
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) .........................314
9.4. Другие нелинейные уравнения третьего порядка................................323
10. Уравнения четвертого порядка ....................................................327
10.1. Уравнения, содержащие вторую производную по t .......................................327
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навье — Стокса) ............................333
10.3. Другие уравнения.......................................................348
11. Уравнения старших порядков ............................................350
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной ............350
11.2. Эволюционные уравнения общего вида ..............................................359
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную ......................................369
11.4. Другие уравнения............................................................375
Приложения.............................................................379
А. Методы обобщенного и функционального разделения переменных......................379
А.1. Введение.................................................................379
А. 1.1. Предварительные замечания ...................................................379
А. 1.2. Простейшие случаи разделения переменных в нелинейных уравнениях .... 380
А. 1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нелинейных уравнениях 381
А.2. Методы обобщенного разделения переменных .....................................383
А.2.1. Структура решений с обобщенным разделением переменных........................383
А.2.2. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирования .......383
А.2.3. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления.....387
А.2.4. Упрощенная схема построения точных решений уравнений с квадратичной нелинейностью .....390
А.З. Методы функционального разделения переменных............................................392
А.3.1. Структура решений с функциональным разделением переменных ................392
А.3.2. Решения с функциональным разделением переменных частного вида............393
А.3.3. Метод дифференцирования .............................................397
А.З.4. Метод расщепления. Редукция к функциональному уравнению с двумя переменными..........401
А.3.5. Некоторые функциональные уравнения и их решения. Точные решения
нелинейных уравнений теплопроводности и теории волн.............................402
В. Преобразования уравнений математической физики .....................................408
В.1. Точечные преобразования .................................408
В.2. Преобразование годографа........................................409
В.З. Преобразование Лежандра..............................................411
В.4. Контактные преобразования ........................................411
B.5. Преобразования Беклунда. Дифференциальные подстановки...........................413
C. Тест Фукса — Ковалевской — Пенлеве для нелинейных уравнений математической физики ........416
СЛ. Подвижные особенности решений обыкновенных дифференциальных уравнений . . 416
С.2. Решения уравнений с частными производными, имеющие подвижный полюс. Описание метода.....417
С.3. Примеры применения теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве ...............................419
Список литературы ................................423
