Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -700 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIII).
Книга является тринадцатым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете". Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах.
Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 12
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 17
1. Основные физические субстанции 19
1.1. Особенности постановки задач математической физики 19
1.2. Плотность физических субстанций......................21
1.3. Перенос физических субстанций........................26
Д. 1.1. Некоторые формулы векторного анализа..............30
Вопросы и задачи..........................................37
2. Законы сохранения физических субстанций 38
2.1. Закон сохранения массы..................................38
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности ... 46
2.3. Законы сохранения электрического заряда и тепловой энергии......................................................57
2.4. Закон сохранения количества движения................72
Д.2.1. Формулы векторного анализа в случае неоднородной
среды........................................................81
Вопросы и задачи..........................................84
3. Математические модели некоторых сред 85
3.1. Модели идеальной жидкости (газа) ....................85
3.2. Модели вязкой жидкости ................................91
3.3. Упругое твердое тело ....................................98
3.4. Уравнение переноса энергии в среде....................103
3.5. Уравнения Максвелла ....................................108
3.6. Электромагнитные процессы в медленно движущейся среде........................................................117
Д.3.1. Поверхности разрыва в электромагнитном поле . . . 122
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями ............125
Вопросы и задачи........................................134
ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 135
4. Нормированные пространства и операторы 137
4.1. Нормированные пространства ..........................137
4.2. Операторы в нормированных пространствах..........146
4.3. Линейные операторы......................................161
4.4. Линейные ограниченные функционалы................164
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 171
4.6. Спектр линейного оператора............................186
4.7. Пополнение нормированного пространства............196
Вопросы и задачи..........................................204
5. Операторы в гильбертовых пространствах 209
5.1. Гильбертово пространство ..............................209
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве ...............215
5.3. Энергетическое пространство ..........................226
5.4. Однородное операторное уравнение....................234
5.5. Уравнения с вполне непрерывными симметрическими операторами..........246
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 258
Д.5.2. Критерий базисности системы функций................268
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора .................270
Вопросы и задачи..........................................281
6. Приближенные аналитические методы 283
6.1. Общая схема построения приближенных методов . . 283
6.2. Погрешности приближенных методов..................293
6.3. Метод малого параметра................................297
6.4. Общий случай метода малого параметра..............303
6.5. Метод ортогональных проекций........................323
6.6. Коллокации в подобластях и в точках..................326
6.7. Метод наименьших квадратов..........................343
6.8. Методы Бубнова — Галеркина и Ритца................351
6.9. Задачи на собственные значения........................357
6.10. Особенности выбора базисных функций................371
Д.6.1. Проекционный метод......................................389
Вопросы и задачи..........................................395
ЧАСТЬ III. СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ 399
7. Основы метода конечных разностей 401
7.1. Понятие о сеточных методах............................401
7.2. Аппроксимация производных конечными разностями 404
7.3. Метод баланса..............................................407
7.4. Пример простейшей разностной схемы................414
Вопросы и задачи..........................................424
8. Одномерные краевые задачи 425
8.1. Разностные схемы для стационарных задач ..........425
8.2. Задача Штурма — Лиувилля............................441
8.3. Нестационарная задача теплопроводности............452
8.4. Некоторые динамические задачи........................467
Д.8.1. Модификации метода прогонки ........................472
Вопросы и задачи..........................................490
9. Многомерные задачи 491
9.1. Особенности решения многомерных задач............491
9.2. Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности .... 492
9.3. Различные многомерные задачи........................500
Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок ... 514
Вопросы и задачи...................................521
ЧАСТЬ IV. МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 523
10. Основы метода конечных элементов 525
10.1. Одномерная краевая задача..............................526
10.2. Типы конечных элементов................................538
10.3. Матричная форма представления функций............563
Вопросы и задачи..........................................567
11. Прикладные задачи 569
11.1. Особенности применения метода конечных элементов 569
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле..............572
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости ..................592
11.4. Задачи теории упругости................................602
11.5. Электромагнитное поле в цилиндрическом волноводе 616
Вопросы и задачи..........................................621
12. Введение в метод граничных элементов 622
12.1. Граничные интегральные уравнения....................622
12.2. Способы аппроксимации функций на границе .... 635
12.3. Учет анизотропии и неоднородности..................647
12.4. Нестационарные задачи.......................656
12.5. Статическая задача теории упругости................663
12.6. Сравнение методов граничных и конечных элементов 674
12.1. Особенности решения осесимметричных задач . . . . 676
Вопросы и задачи..........................................683
Список рекомендуемой литературы 684
Предметный указатель 689
Часть 1
Часть 2
