Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. - 528 с.
Основная цель книги — помочь читателю глубже понять, что такое самоподобие — возможно, наиболее важную из встречающихся в природе симметрии, а также продемонстрировать широчайший диапазон применений масштабной инвариантности в физике, химии, биологии,музыке и, в особенности, в изобразительном искусстве. Материал изложен на доступном уровне и снабжен множеством иллюстраций.
Книга будет полезна и интересна самому широкому кругу читателей.
Оглавление
Предисловие..........................................................15
Глава 1. Введение..................................................23
Эйнштейн, Пифагор и простое подобие............................25
Самоподобная расстановка ферзей, не бьющих друг друга ... 28
Самоподобная снежинка ............................................30
Новая размерность для фракталов ................................32
Самоподобное разбиение и «неевклидов» парадокс................36
У врат канторова рая................................................40
Ковер Серпинского ..................................................41
Игра сэра Пинского и детерминированный хаос..................46
Хаос, вызываемый движением трех тел..........................52
Странные аттракторы, их области притяжения и игра в хаос . 54
Перколяционные случайные фракталы............................59
Степенные законы: от Альвареса до Ципфа ......................63
Итерации Ньютона и упразднение межнациональных границ . 71
Мог ли Минковский услышать форму барабана?................73
Дискретное самоподобие: складки и центральные сгибы .... 80
Золотое и серебряное сечения и гиперболический хаос..........85
Как выиграть в фибоначчиев ним..................................89
Самоподобные последовательности, порождаемые квадратными решетками........................................................93
«Отчаянное пари» Джона Хортона Конуэя........................96
Глава 2. Подобие и различие....................................99
Более чем один масштаб......................100
Быть или не быть масштабной инвариантности: немного из
биологии и астрофизики......................102
Подобие в физике: некоторые поразительные следствия .... 105
Подобие в концертных залах, микроволнах и гидродинамике . 108
Масштабирование в психологии..................111
Специалисты по акустике, алхимия и концертные залы .... 113
Предпочтения и несходство: снова о концертных залах .... 115
Глава 3. Самоподобие — дискретное, непрерывное, строгое и всякое другое.........................124
Логарифмическая спираль, режущие инструменты и широкополосные антенны..........................132
Некоторые простые случаи самоподобия.............138
Функции Вейерштрасса и музыкальный парадокс .......142
Еще о самоподобии в музыке: темперированный строй Баха .
146 Замечательные соотношения между простыми числами 3, 5 и 7 ...149
Глава 4. Степенные законы — неисчерпаемый источник самоподобия ...........................151
Размеры городов и метеоритов..................151
Пятое взаимодействие .......................153
Независимые от естественных масштабов............155
Иоганн Себастьян Бах: композитор, независимый от масштаба 156
Эстетическая теория Биркгофа..................158
Гиперболический принцип неопределенности Гейзенберга . . . 162
Дробные показатели.........................165
Необычное распределение первого знака.............166
Показатели при поперечных сечениях: деревья, реки, артерии и легкие................................168
Глава 5. Шумы: белый, розовый, коричневый и черный 172
Розовый шум.............................174
Самоподобные тенденции на фондовой бирже..........178
Черные шумы и разливы Нила ..................182
Угроза глобального потепления..................184
Дробное интегрирование — современный инструмент математического анализа..........................186
Броуновские горы..........................187
Преобразование Радона и компьютерная томография.....188
Горы юные и старые........................189
Глава 6. Броуновское движение, разорение игроков и межгалактическая пустота.....................193
Укрощение броуновского зверя..................194
Броуновское движение как фрактал ...............195
Много ли молекул в капле жидкости? ..............198
Спектр броуновского движения..................199
Разорение игрока, случайные блуждания и теория информации 200
Крах здравого смысла в случайных испытаниях........201
Еще немного пищи для размышлений о справедливости .... 202
Петербургский парадокс......................203
Угадывающая машина Шеннона..................205
Классическая механика рулетки и пропускная способность канала по Шеннону ..........................206
Скопления разорений и галактик.................208
Полеты Леви в космическом пространстве............211
Парадоксы вероятностных степенных законов .........214
Инвариантные распределения: Гаусс, Коши ... кто следующий?215
Глава 7. Канторовы множества: самоподобие и арифметическая пыль............................220
Уголок канторова рая........................220
Канторовы множества как множества инвариантные .....225
Символическая динамика и детерминированный хаос.....227
Чертовы лестницы и китайский бильярд.............229
Синхронизация мод в качелях и часах..............233
Незадачливый манхэттенский пешеход..............235
Языки Арнольда...........................237
Глава 8. Многомерные фракталы и цифровые солнечные часы ................................240
Декартовы произведения канторовых множеств ........240
Дырявый ковер, мягкие губки и швейцарские сыры......241
Солнечные часы на основе канторова множества........244
Толстые фракталы..........................246
Глава 9. Мультифракталы, или фракталы, тесно переплетенные между собой......................251
Распределение: концентрация руды и плотность населения . . 252
Самоаффинные фракталы без пустот...............255
Мультифрактальный спектр: турбулентность и ограниченная
диффузией агрегация........................259
Образование вязких языков....................265
Мультифракталы на фракталах..................267
Фрактальные размерности, получаемые из обобщенных энтропий .........................269
Соотношение между мультифрактальным спектром / (а) и показателями массы г (q).......................272
Странные аттракторы как мультифракталы...........274
Алгоритм жадного игрока при неблагоприятных шансах на выигрыш .................................275
Глава 10. Некоторые реально существующие фракталы и их измерение...........................280
Размерности, определяемые путем подсчета клеток......283
Массовая размерность .......................284
Корреляционная размерность ...................290
Бесконечное множество размерностей..............291
Определение фрактальных размерностей по временным рядам 294
«Абстрактное в конкретном»....................295
Фрактальные поверхности раздела как основа дробных показателей частоты...........................296
Фрактальные размерности поверхностей разлома........302
Фрактальные формы облаков и дождевых областей.......303
Агломерация кластеров.......................305
Дифракция на фракталах......................307
Глава 11. Итерации, странные отображения и миллиард знаков для 7г ...........................311
Поиск нулей и встреча с хаосом..................314
Странные множества Жюлиа ...................319
Мультифрактальное множество Жюлиа.............322
Красота кусочно-линейных отображений.............326
Преобразование пекаря и цифровой вариант игры в «стулья с
музыкой»...............................328
Кошка Арнольда...........................33
Миллиард знаков для пи.......................336
Кустарники и цветы от итераций.................338
Глава 12. Самоподобная последовательность и логистическая парабола...........................342
Самоподобие от целых чисел....................343
Логистическая парабола и удвоение периода ..........348
Самоподобие в логистической параболе..............353
Скейлинг параметра роста.....................356
Самоподобная символическая динамика.............359
Окна периодичности в хаосе....................361
Порождение новых орбит......................365
Вычисление параметров роста для различных орбит......370
Касательные бифуркации, перемежаемость и 1/f-шум.....374
Полный хаос.............................377
Множество Мандельброта .....................381
Множества Жюлиа комплексного квадратичного отображения 383
Глава 13. Запрещенная симметрия, кролики Фибоначчи и новое состояние вещества...............387
Запрещенная симметрия пятого порядка.............387
Дальний порядок, обусловленный взаимодействиями между
соседями...............................390
Построение кроличьей последовательности из последовательности чисел Фибоначчи................396
Самоподобный спектр кроличьей последовательности.....397
Самоподобие кроличьей последовательности...........398
Одномерная квазипериодическая решетка............399
Самоподобие, порождаемое проекциями.............400
Другие запрещенные симметрии .................406
Глава 14. Периодические и квазипериодические структуры в пространстве........................408
Периодичность и квазипериодичность в пространстве.....410
Чертова лестница для спинов Изинга...............410
Квазипериодические пространственные распределения .... 412
Спиновая последовательность Битти...............415
Законы подобия для квазипериодических спинов........420
Самоподобные числа вращения ..................421
Отображения окружности и языки Арнольда..........423
Медианты, последовательности Фарея и дерево Фарея.....426
Путь к хаосу через золотое сечение................434
Глава 15. Перколяция: от лесных пожаров до эпидемий . 439
Критическое возгорание на квадратной решетке........440
Универсальность...........................445
Критическая концентрация ....................448
Фрактальные периметры просачивания .............449
Конечномерный скейлинг......................449
Глава 16. Фазовые переходы и перенормировка......453
Марковский процесс первого порядка...............453
Самоподобные и несамоподобные марковские процессы .... 455
Скейлинг символов, порожденных марковским источником ....456
Перенормировка и иерархические решетки...........459
Порог перколяции решетки Бете .................461
Простая перенормировка......................465
Глава 17. Клеточные автоматы.................469
Игра под названием «Жизнь» ...................471
Рост и гибель клеток........................473
Формирование биологических конфигураций..........481
Самоподобие клеточного автомата ................482
Каталитический конвертор как клеточный автомат......486
Треугольник Паскаля по модулю N................488
Самоорганизующиеся критические кучи песка по Баку .... 488
Приложение .............................491
