Хайрер Э., Нёрсет С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Нежесткие задачи. - М., 1990, - 512 с.
Книга известных математиков (Швейцария, Норвегия), дающая картину современного состояния теории и практики численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложены основные теоретические результаты, приведены наиболее употребительные численные методы, дано большое число примеров практических применений в физике и прикладных науках. Представлены тексты программ на фортране.
Для математиков-прикладников и всех, кто в своей работе встречается с решением дифференциальных уравнений, для аспирантов и студентов вузов.
Оглавление
Предисловие........................................................6
Глава I. Классическая математическая теория......................8
1.1. Терминология............................................9
1.2. Наиболее ранние дифференциальные уравнения..............11
Ньютон........... ............................11
Лейбниц ................................................12
Вариационное исчисление ................................13
Клеро....................................................15
1.3. Уравнения, разрешимые в квадратурах и элементарных функциях ...........16
Уравнение с разделяющимися переменными................16
Неоднородное линейное уравнение ........................16
Уравнения в полных ди(Й>еренциалах....................16
Уравнения второго порядка................................17
Упражнения..............................................18
1.4. Линейные дифференциальные уравнения....................21
Уравнения с постоянными коэффициентами................21
Вариация постоянных....................................23
Упражнения..............................................24
1.6. Уравнения со слабыми особенностями......................25
Линейные уравнения......................................26
Нелинейные уравнения ..................................28
Упражнения..............................................29
1.6. Системы уравнений ......................................31
Лагранж................................................31
Фурье ........... ..........................34
Упражнения..............................................35
1.7. Общая теорема существования............................37
Сходимость метода Эйлера.......................38
Теорема существования Пеано............................43
Упражнения..............................................46
1.8. Теория существования решения, основанная на итерационных методах и рядах Тейлора.......47
Метод последовательных приближений Пикара..............48
Метод рядов Тейлора ..................49
Доказательство сходимости..............................50
Рекурсивное вычисление коэффициентов ряда Тейлора. . . 51
Упражнения......... ....53
1.9. Теория существования решения для систем уравнений.... 55
Векторные обозначения..................................56
Подчиненные матричные нормы............................58
Последовательные приближения Пикара для систем..........58
Упражнения..............................................59
1.10. Дифференциальные неравенства............................60
Введение..................................................60
Фундаментальные теоремы................................61
Оценки с использованием односторонних условий Липшица 64
Упражнения..............................................67
1.11. Системы линейных дифференциальных уравнений..........69
Матрица Вронского (вронскиан)..........................70
Тождество Абеля—Лиувилля—Я коби—Остроградского 71
Неоднородные линейные уравнения........................72
Упражнения..............................................72
1.12. Системы с постоянными коэффициентами....................75
Линеаризация............................................75
Приведение к диагональному виду..........................76
Разложение Шура ......................................76
Численные расчеты......................................78
Каноническая форма Жордана............................80
Геометрическое представление............................83
Упражнения..............................................85
1.13. Устойчивость...........................88
Введение..................................................88
Критерий Рауса—Гурвица ..............................89
Вопросы численной реализации............................93
Функции Ляпунова ......................................94
Устойчивость нелинейных систем .......................96
Устойчивость неавтономных систем........................97
Упражнения..............................................98
1.14. Производные по параметрам и начальным значениям. . . . 102
Производная по параметру................................103
Производные по начальным значениям....................105
Нелинейная формула вариации постоянных................106
Упражнения..............................................108
1.15. Краевые задачи и задачи на собственные значения..........109
Краевые задачи..........................................109
Задачи Штурма—Лиувилля на собственные значения .... 111
Упражнения..............................................114
1.16. Периодические решения, предельные циклы, странные аттракторы ....................................................115
Доказательство существования............................116
Стационарные приближения при ........................117
Асимптотические решения при малых е....................118
Химические реакции ....................................120
Предельные циклы в системах больших размерностей, бифуркация..................121
Хопфа ..................................................121
Странные аттракторы ....................................125
Каскады Фейгенбаума....................................129
Упражнения..............................................131
Глава II. Методы Рунге—Кутты и экстраполяционные методы ....134
II.1. Первые методы Рунге—Кутты............................137
Метод Эйлера для решения начальной задачи................137
Общая формулировка методов Рунге—Кутты................139
Обсуждение методов порядка 4............................140
«Оптимальные» формулы..................................144
Численный пример ......................................145
Упражнения..............................................147
II.2. Условия порядка для методов Рунге—Кутты..............150
Производные точного решения............................152
Условия для порядка 3....................................152
Деревья и элементарные дифференциалы..................153
Разложение Тейлора для точного решения................157
Формула Фаа ди Бруно..................................158
производные численного решения..........................159
Условия порядка..................................162
Упражнения..............................................163
II.З. Оценка погрешности и сходимость методов Рунге—Кутты. . 166
Строгие оценки погрешности..............................166
Главный член погрешности..............................168
Оценка глобальной погрешности............................169
Упражнения..............................................173
II.4. Практическая оценка погрешности и выбор длины шага. . . 175
Экстраполяция по Ричардсону............................175
Автоматическое управление длиной шага....................177
Вложение формулы Рунге—Кутты........................178
Формула Дормана и Принса..............................182
Численное исследование механизма управления длиной шага..................183
Численное сравнение методов 4-го порядка................185
Упражнения..............................................187
II.5. Дальнейшие вопросы практических вычислений..............188
Плотная выдача..........................................188
Непрерывные вложенные формулы........................191
«Неявная» выдача........................................192
Уравнения с разрывными производными..................192
Длина начального шага..................................194
Численное определение производных по начальным условиям и параметрам...............195
Упражнения..............................................196
II.6. Явные методы Рунге—Кутты высших порядков............198
Барьеры Бутчера........................................198
Шестистадийные процессы пятого порядка..................200
Семистадийные процессы шестого порядка................202
Дальнейшие барьеры Бутчера............................202
Формула десятого порядка................................203
Вложенные формулы высоких порядков..................206
Численный пример ......................................209
Упражнения..............................................211
II.7. Неявные методы Рунге—Кутты ..........................212
Введение..................................................212
Существование численного решения......................214
Методы Кунцмана и Бутчера порядка 2s..................217
НРК-методы, основанные на квадратурной формуле Лобатто 219
НРК как коллокационные методы..........................220
Упражнения..............................................224
II.8. Асимптотическое разложение глобальной погрешности. . . 226
Локальная погрешность..................................226
Глобальная погрешность ................................226
Примеры..................................................228
Переменная длина шага..................................229
Отрицательные значения h................................229
Свойства присоединенного метода..........................230
Симметричные методы....................................232
Упражнения..............................................232
II.9. Экстраполяционные методы..............................234
Определение методы......................................234
Алгоритм Эйткена—Невилла ............................237
Рациональная экстраполяция............................237
Вычислительный пример..................................237
Экстраполяция с помощью симметричных методов..........238
Метод Грэгга, или ГБШ..................................239
Сглаживающий шаг......................................241
Вычислительный алгоритм и пример......................242
Асимптотическое разложение для нечетных индексов..........243
Существование явных методов Рунге—Кутты произвольного
порядка..................................................243
Управление порядком и длиной шага......................244
Численное исследование комбинированного управления длиной шага и порядком....................................247
Упражнения..............................................248
II.10. Сравнение вычислительных качеств........................252
Результаты расчетов ....................................255
Пример с негладким решением............................256
Заключение....................................257
II.11. Композиция В-рядов......................................258
Композиция методов Рунге—Кутты ......................258
В-ряды..................................................259
Условия порядка для методов Рунге—Кутты................263
«Эффектный порядок» Бутчера............................264
Упражнения..............................................265
II.12. Методы, использующие старшие прои^дные................266
Коллокационные методы..................................267
Методы Фельберга........................................270
Общая теория условий порядка..........................272
Упражнения..............................................274
II. 13. Численные методы для дифференциальных уравнений второго
порядка..................................................276
Методы Нюстрема........................................277
Производные точного решения............................279
Производные численного решения........................282
Условия порядка ........................................284
О конструировании методов Нюстрема....................285
Глобальная сходимость ..................................287
Программная реализация методов Нюстрема..............288
Численные эксперименты..................................290
Система высших порядков................................292
Упражнения..............................................292
II. 14. Р-ряды для разделяющихся обыкновенных дифференциальных
уравнений................................................294
Производные точного решения; Р-деревья..................295
Р-ряды..................................................299
Методы Рунге—Кутты с нарушением условия (1.9). . . . 300
Методы Фельберна ......................................301
Методы Нюстрема ......................................302
Упражнения..............................................303
II. 15. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом 304
Существование............................................304
Методы с постоянной длиной шага для постоянного запаздывания ................306
Методы с переменной длиной шага........................308
Характеристические значения экспоненциальных решений 309
Устойчивость..............................................310
Пример из динамики популяций..........................311
Моделирование эпидемии..................................313
Пример из кинетики ферментативных реакций..............315
Одна математическая модель в иммунологии................317
Интегро-дифференциальные уравнения......................318
Упражнения.....................................319
Глава III. Многошаговые методы и общие линейные методы............322
III.1. Классические линейные многошаговые формулы..............323
Явные методы Адамса....................................324
Неявные методы Адамса..................................325
Рекуррентные соотношения для ..........................327
Явные методы Нютрема..................................328
Методы Милна—Симпсона................................329
Методы, основанные на дифференцировании................330
Упражнения..............................................332
III.2. Локальная погрешность и условия порядка................334
Локальная погрешность многошагового метода..............334
Порядок многошагового метода............................336
Константа погрешности многошаговых методов..............338
Неприводимые методы....................................340
Ядро Пеано многошаговых методов..........................341
Упражнения..............................................343
III.3. Устойчивость и первый барьер Далквиста..................345
Устойчивость формул дифференцирования назад............347
Наивысший достижимый порядок устойчивых многошаговых методов...........351
Упражнения..............................................355
III.4. Сходимость многошаговых методов........................359
Представление в виде одношагового метода..................361
Доказательство сходимости..............................363
Упражнения..............................................365
III.5. Многошаговые методы с переменным шагом..................366
Методы Адамса с переменным шагом......................366
Рекуррентные соотношения для . . . . 368
формулы дифференцирования назад с переменным шагом. . . 369
Многошаговые методы общего вида с переменным шагом и их
порядок согласованности..................................370
Устойчивость..............................................371
Сходимость..............................................376
Упражнения..............................................378
III.6. Методы Нордсика........................................379
Эквивалентность многошаговым методом .....................382
Неявные методы Адамса..................................387
ФДН-методы ............................................388
Упражнения..............................................389
III.7. Реализация и численное сравнение........................390
Выбор шага и порядка..................................390
Некоторые распространенные программы..................392
Сравнение численных результатов........................396
Уравнения в частных производных........................399
III.8. Общие линейные методы..................................403
Общая процедура интегрирования..........................404
Примеры метода (8.4)....................................404
Устойчивость и порядок..................................409
Сходимость..............................................412
Условия порядка для общих линейных методов..............415
Построение общих линейных методов......................417
Упражнения..............................................419
III.9. Асимптотическое разложение глобальной погрешности. . . 421
Поучительный пример....................................421
Асимптотическое разложение для сильно устойчивых методов (8.4) ............423
Слабо устойчивые методы................................428
Сопряженный метод......................................431
Симметричные методы....................................434
Упражнения..............................................435
III. 10. Многошаговые методы для дифференциальных уравнений второго порядка...............437
Первые методы ..........................................438
Задача Штермера..........................................439
Методы более высокого порядка............................441
Общая формулировка....................................443
Условия устойчивости....................................444
Одношаговое представление метода (10.19)................444
Согласованность и сходимость............................446
Асимптотическая формула для глобальной погрешности. . . 447
Порядковый барьер для устойчивых методов (10.19)..........449
Погрешности округления..................................449
Упражнения..............................................450
Приложение. Программы на Фортране................................452
Литература ........................................................473
Дополнительная литература..........................................492
Указаnель обозначений..............................................493
Предметный указатель................................................495
Часть 1
Часть 2
