Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М., 1966 г., 664 стр.
Книга посвящена изложению важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского курса высшей математики. Основная часть книги является учебным пособием по курсу приближенных вычислений для втузов. Книга может быть полезна также для лиц, работающих в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию......................................12
Введение. Общие правила вычислительной работы........13
Глава 1. Приближенные числа......................................17
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности . . ........17
§ 2. Основные источники погрешностей..............20
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков....................21
§ 4. Округление чисел......................24
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа............25
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот.........28
§ 7. Погрешность суммы.....................31
§ 8. Погрешность разности....................33
§ 9. Погрешность произведения.................35
§ 10. Число верных знаков произведения.............37
§11. Погрешность частного....................38
§ 12. Число верных знаков частного ...............39
§ 13. Относительная погрешность степени.............39
§ 14. Относительная погрешность корня..............39
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей........40
§ 16. Общая формула для погрешности..............41
§ 17. Обратная задача теории погрешностей............43
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей ............................46
§ 19. Способ границ........................48
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности........51
Литература к первой главе......................52
Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей.....53
§ 1. Определение цепной дроби..................53
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно.....54
§ 3. Подходящие дроби .....................56
§ 4. Бесконечные цепные дроби..................64
§ 5. Разложение функций в цепные дроби.............70
Литература ко второй главе.....................73
Глава III. Вычисление значений функций.............74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера.......74
§ 2. Обобщенная схема Горнера.....................77
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей.........79
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов......80
§ 5. Вычисление значений аналитической функции........86
§ 6. Вычисление значений показательной функции........88
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции.......92
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций.....95
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций.......98
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции................... . . . 100
§11. Вычисление обратной величины...............101
§ 12. Вычисление квадратного корня...............104
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корпя.....108
§ 14. Вычисление кубического корня...............108
Литература к третьей главе.....................111
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений....................112
§ 1. Отделение корней......................112
§ 2. Графическое решение уравнений...............116
§ 3. Метод половинного деления.................118
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд)........119
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных).............123
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона...............131
§ 7. Комбинированный метод...................132
§ 8. Метод итерации.......................135
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений........148
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений........152
§11. Метод Ньютона для случая комплексных корней.....153
Литература к четвертой главе ........................................157
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений...................158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений..........158
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений . 163
§ 3. Метод знакопеременных сумм.................165
§ 4. Метод Ньютона.......................167
§ 5. Число действительных корней полинома...........169
§ 6. Теорема Бюдана — Фурье..................171
§ 7. Идея метода Лобачевского—Греффе.............176
§ 8. Процесс квадрирования корней . ...............178
§ 9. Метод Лобачевского—Греффе для случая действительных различных корней .......................180
§ 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней 183
§ 11. Случай пары комплексных корней ..............186
§ 12. Случай двух пар комплексных корней............190
§ 13. Метод Бернулли.......................195
Литература к пятой главе ..........................................198
Глава VI. Улучшение сходимости рядов.............199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов...........199
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера — Абеля .......................... ... 205
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье................210
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А. Н. Крылова.....................213
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов . . . 222
Литература к шестой главе......................224
Глава VII. Алгебра матриц.................. . . 225
§ 1. Основные определения....................225
§ 2. Действия с матрицами....................226
§ 3. Транспонированная матрица ..................................230
§ 4. Обратная матрица......................231
§ 5. Степени матрицы...................... 236
§ 6. Рациональные функции матрицы...............237
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы...........238
§ 8. Ранг матрицы........................244
§ 9. Предел матрицы.......................245
§ 10. Матричные ряды ......................247
§ 11. Клеточные матрицы.....................252
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки .... 255
§ 13. Треугольные матрицы....................260
§ 14. Элементарные преобразования матриц............263
§ 15. Вычисление определителей..................264
Литература к седьмой главе.....................267
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений.........268
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений.........................268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера .............................268
§ 3. Метод Гаусса........................272
§ 4. Уточнение корней .....................279
§ 5. Метод главных элементов..................281
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей . . 283
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса........285
§ 8. Метод квадратных корней..................287
§ 9. Схема Халецкого ......................290
§ 10. Метод итерации.......................294
§ И. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301
§ 12. Метод Зейделя........................303
§ 13. Случай нормальной системы.................305
§ 14. Метод релаксации.....................307
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы . . . 310
Литература к восьмой главе ..........................................314
Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений...................315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации.....315
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации .... 317
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 320
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме...........................322
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 323 § 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по
m-норме ...........................325
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 326
Литература к девятой главе....................328
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств .........................329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства.........329
§ 2. Линейная зависимость векторов...............330
§ 3. Скалярное произведение векторов..............335
§ 4. Ортогональные системы векторов..............338
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса . . 340
§ 6. Ортогональные матрицы...................342
§ 7. Ортогонализация матриц...................343
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений......................351
§ 9. Пространство решений однородной системы.........356
§ 10. Линейные преобразования переменных ...........359
§11. Обратное преобразование ....................................365
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы .... 367
§ 13. Подобные матрицы .....................372
§ 14. Билинейная форма матрицы.................375
§ 15. Свойства симметрических матриц..............376
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами ......381
Литература к десятой главе.....................385
Глава ХI. Дополнительные сведения о сходимости итерационных
процессов для систем линейных уравнений......386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов...........386
§ 2. Тождество Гамильтона — Кели................389
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений...........390
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений...........392
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы . . . 395
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости ..... 397
Литература к одиннадцатой главе ....................................401
Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы....................402
§ 1. Вводные замечания..........................402
§ 2. Развертывание вековых определителей ...........402
§ 3. Метод А. М. Данилевского.................404
§ 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского . . . 410
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилевского ............................411
§ 6. Метод А. И. Крылова....................412
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416
§ 8. Метод Леверрье.......................417
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов.......419
§ 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя .........................421
§11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы и соответствующего собственного вектора.....421
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы.........428
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора ......................................431
§ 14. Метод исчерпывания.....................434
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы................437
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома
матрицы для ее обращения.................442
§ 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений......444
Литература к двенадцатой главе...................449
Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений .........................450
§ 1. Метод Ньютона.......................450
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона......456
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона ............................460
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона..........465
§ 5*. Единственность решения..................466
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения...............469
§ 7. Модифицированный метод Ньютона . . . ..........471
§ 8. Метод итерации ......................474
9*. Понятие о сжимающем отображении............477
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации ...........................481
§ 11*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента).......485
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений.........................490
§ 14*. Метод степенных рядов...................494
Литература к тринадцатой главе..................496
Глава XIV. Интерполирование функций..............497
§ 1. Конечные разности различных порядков..........497
§ 2. Таблица разностей.....................500
§ 3. Обобщенная степень....................505
§ 4. Постановка задачи интерполирования............507
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона........508
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона........514
§ 7. Таблица центральных разностей..............518
§ 8. Интерполяционные формулы Гаусса.............519
§ 9. Интерполяционная формула Стирлинга...........521
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя............521
§11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом.........................524
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа...........527
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов..........531
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования........540
§ 18. Разделенные разности ...................542
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента ..................... 544
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547
§ 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих
узлов............................550
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования .........................551
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя ............................553
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных........555
§ 25*. Двойные разности высших порядков............557
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных .........................558
Литература к четырнадцатой главе.................561
Глава XV. Приближенное дифференцирование...........562
§ 1. Постановка вопроса............... .... 562
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на
первой интерполяционной формуле Ньютона ......... 563
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга ..................... 567
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих
точек, выраженные через значения функции в этих точках . . 571
§ 5. Графическое дифференцирование...............574
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575 Литература к пятнадцатой главе..................576
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций .......577
§ 1. Общие замечания......................577
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса..........580
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член..........582
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член ..........583
§ 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков........586
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций)........588
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) .... 589
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева.........593
§ 9. Квадратурная формула Гаусса................597
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул . . . 604
§ 11*. Экстраполяция по Ричардсону ...............607
§ 12*. Числа Бернулли......................611
§ 13*. Формула Эйлера—Маклорена...............613
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов .... 618
§ 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей.....621
§ 16. Графическое интегрирование.................624
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах..............627
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона............629
Литература к шестнадцатой главе..................633
Глава XVII. Метод Монте-Карло.................634
§ 1. Идея метода Монте-Карло..................634
§ 2. Случайные числа......................635
§ 3. Способы получения случайных чисел............638
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло .... 641
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло.........................650
Литература к семнадцатой главе........... .....658
Часть 1
Часть 2
