Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений (в 2-х томах). Том 2. - Изд: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962, 620 c.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов механико-математических и физико-математических факультетов, специализирующихся по вычислительной математике, и лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
Во втором томе книги рассмотрены численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений, численные методы отыскания собственных значений, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов механико-математических и физико-математических факультетов, специализирующихся по вычислительной математике, и лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................. S
Глава 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
§ 1. Классификация методов................... 9
§ 2. Метод исключения ..................... 10
1. Схема Гаусса с выбором главного элемента (10). 2. Компактная схема Гаусса (13). 3. Обращение матрицы (17). 4. Вычисление определителей (18). 5. (Іхема Жордана (19), 6. Схема без обратного хода (20).
§ 3. Метод квадратного корня.................. 23
§ 4. Метод ортогонализации.................... 25
§ 5. Метод сопряженных градиентов............... З0
§ 6. Метод разбиения на клетки................. 41
§ 7. Линейные операторы. Нормы операторов.......... 44
1. Конечномерные линейные нормированные пространства (46).
2. Линейные операторы в конечномерном линейном нормированном пространстве и их связь с матрицами (49). 3. Сходимость последовательностей матриц и матричных рядов (51).
§ 8. Разновидности методов последовательных пр^иближений ... 54
§ 9. Линейные полно шаговые методы первого порядка...... 56
1. Сходимость линейных полношаговых методов первого порядка. Простая итерация (56). 2. Метод Ричардсона (59). 3. Обращение матриц методом последовательных приближений (61).
§ 10. Линейные одношаговые методы первого порядка...... 61
1. Метод Зейделя (62), . Сходимость метода Зейделя (63).
3. Релаксационный метод (66).
§ 11. Метод скорейшего спуска.................. 67
Упражнения........................... 73
Литература........................... 74
Глава 7. Численные методы решения алгебраических уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений .... 76
§ 1. Введение . .......................... 76
§ 2. Отделение корней...................... 76
1. Общие замечания (76). 2. Границы расположения корней алгебраического уравнения (79). 3. Число действительных корней алгебраического уравнения (83). 4. Отделение действительных корней алгебраического уравнения (88). 5. Отделение комплексных корней алгебраических уравнений (94). § 3, Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений . . . 105 1. Метод Лобачевского. Случай различных по абсолютной величине действительных корней (103). 2. Метод Лобачевского. Случай комплексных корней (107). 3. Метод Лобачевского. Случай
близких или равных корней (115), 4. Погрешность метода Лобачевского (115). 5, Видоизменение Лемера метода Лобачевского (123).
§ 4. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений..................... 128
1. Принцип сжатых отображений и его применение к доказательству сходимости итерационных методов (129). 2. Простейшие итерационные методы: метод секущих и метод Ньютона (135).
3. Метод Чебышева построения итераций высших порядков (140).
4. Построение итераций высших порядков с помощью теоремы Кёнига (143). А. Теорема Кёнига (143), Б. Построение итераций высших порядков (145). 5. Метод Эйткена построения итераций высших порядков (146). 6. Пример (149).
§ 5. Решение систем уравнений..................150
1. Метод итераций решения систем специального вида (150).
2. Метод Ньютона (154). 3. Метод скорейшего спуска (161).
§ 6. Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей........................162
1. Метод Лина выделения множителей (164), 2. Метод Фридмана (167). 3. Метод Хичкока выделения квадратного множителя (171).
Упражнения............................174
Литература............................176
Глава 8. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц.....................177
§ 1. Введение...........................177
§ 2. Метод А. Н. Крылова.....................178
1. Отыскание собственных значений матрицы (178). 2. Отыскание собственных векторов матрицы (186).
§ 3. Метод Ланцоша........................188
1. Отыскание собственных значений (188). 2. Отыскание собственных векторов (196).
§ 4. Метод Данилевского.....................198
1. Видоизменение метода Данилевского (204).
§ 5. Обзор других способов получения характеристического многочлена ............................208
1. Метод Леверрье (209). 2. Метод окаймления (211). 3. Эскалаторный метод (211). 4. Метод Самуэльсона (213). 5. Интерполяционный метод (2І4).
§ 6. Определение границ собственных значений..........214
1. Случай симметрической матрицы (215). Случай несимметрической матрицы (225).
§ 7. Итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов матриц.................228
1. Отыскание наибольшего по модулю действительного собственного значения матрицьі простой структуры. Случай симметрической матрицы (228). 2. Отыскание других собственных значений и соответствующих им собственных векторов для симметрических матриц (231). 3. Отыскание собственных значений и собственных векторов несимметрических матриц, имеющих простую структуру (238), 4. Некоторые замечания об отыскании собственных значений и собственных векторов матриц общей структуры(242).
§ 8. Ускорение сходимости итерационных процессов при решении
задач линейной алгебры....................244
1. Ускорение сходимости итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений. Общие замечания (245).
2. Метод М. К. Гавурина (246). 3. Метод Л. А. Люстерника (247). 4. Ь^-процесс Эйткена (249). 5. Улучшение сходимости итерационных процессов для отыскания собственных значений матриц (251). § 9. Неустранимая погрешность при численном решении систем
линейных алгебраических уравнений..............251
Упражнения............................256
Литература............................258
Глава 9. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений...............259
§ 1. Введение...........................259
§ 2. Метод С. А. Чаплыгина....................260
1. Теоремы о дифференциальных неравенствах (260). 2. Способ Чаплыгина построения улучшенных приближений (264). 3. Второй способ построения улучшенных приближений (269). 4. Метод Чаплыгина приближенного решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка (273).
§ 3. Метод малого параметра...................277
§ 4 Метод Рунге — Кутта.....................286
1. Метод Рунге — Кутта решения дифференциальных уравнений первого порядка (286). 2. Метод Рунге — Кутта решения систем дифференциальных уравнений первого порядка (311). 3. Метод Рунге — Кутта решения уравнений второго порядка (320).
§ 5. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка .................. 327
1. Некоторые экстраполяционные формулы для интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка (329). 2. Примеры интерполяционных формул (332). 3. Метод неопределенных коэффициентов вывода разностных формул (336). 4. Метод Крылова отыскания начальных значений решения (339). 5. Примеры (342).
§ 6. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений высших порядков..................345
§ 7. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость разностных
методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений . 354 1. Ллнейные разностные уравнения (354). 2. Разностное уравнение для погрешности приближенного решения (356). 3. Оценки погрешности решений, получаемых по формулам Адамса (360). 4. Устойчивость разностных методов решения дифференциальных уравнений (365). 5. Оценка погрешности и сходимость устойчивых разностных методов решения дифференциальных уравнений (368).
§ 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей............372
1. Метод конечных разностей решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка (373). 2. Метод конечных разностей решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (376).
§ 9. Метод прогонки.......................387
§ 10. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вариационными методами ..............391
1. Вариационные методы решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве (392). 2. Метод Ритца решения вариационных задач (397). 3. Понятие о методе Галеркина (407).
Упражнения............................408
Литература............................409
Глава 10. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений 410
§ 1. Введение...........................410
§ 2. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа .................412
1. Идея метода сеток (412), 2. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными (414). 3, Аппроксимация граничных условий (425), 4, Разрешимость разностных уравнений и способы их решения (429), 5, Оценка погрешности и сходимость метода сеток (434),
§ 3. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа ................ . 443
1. Метод сеток для решения задачи Коши (444), 2. Оценка погрешности и сходимость метода сеток для неоднородного волнового уравнения (449), 3, Метод сеток решения смешанной задачи (4Й), 4, Другие разностные схемы (457),
§ 4. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных ......................... 461
1. Уравнения характеристик системы квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка (461), 2. Примеры: уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики (466), 3, Уравнения характеристик квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка (471), 4, Численное решение квазилинейной гиперболической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо (474), 5, Численное решение гиперболической системы трех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо (480), 6, Метод Массо численного решения квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка (484). 7. Основные задачи, встречающиеся при исследовании плоского безвихревого сверхзвукового установившегося течения идеального газа (488).
§ 5. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений параболического типа .....................490
1, Метод сеток для решения задачи Коши (490), 2. Метод сеток для решения Смешанных задач. Понятие устойчивости разностных схем (497).
§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных производных.....................506
1, Уравнение теплопроводности (506). 2, Уравнение Пуассона (509),
§ 7. Сходимость и устойчивость разностных схем.........516
1, Разностная аппроксимация дифференциального уравнения и граничных условий (516), 2, Понятие корректности и устойчивости разностной схемы (520). 3. Связь сходимости с корректностью разностной схемы (526). 4, Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем (531). 5. Некоторые общие замечания (536).
§ 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.............537
1. Сущность метода прямых (537). 2. Метод прямых решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (539). 3. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны (548). 4. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности (554),
§ 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики........... 561
1, Метод Ритца решения операторных уравнений и отыскания собственных значений операторов в гильбертовом пространстве (562). 2, Метод Ритца приближенного решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа (574). 3. Некоторые другие вариационные методы (582), 4. Метод Ритца решения задачи о собственных значениях (585). 5. Метод Галеркина решения краевых задач (588).
§ 10. Приближенные методы решения интегральных уравнений . . , 590 1, Решение уравнений Фредгольма методом замены интеграла конечной суммой (590). 2. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом замены ядра на вырожденное (597), 3, Метод моментов (604). 4. Метод наименьших квадратов (608). 5. Метод последовательных приближений (611). 6. Приближенное решение уравнений Вольтерра (613).
Упражнения...........................618
Литература...........................620
Часть 1
Часть 2
