Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. 3-е издание. — М., 2005. — 150 с.
В 70-х годах XIX века немецкий математик Г. Кантор создал новую область математики - теорию бесконечных множеств. Через несколько десятилетий почти вся математика была перестроена на теоретико-множественной основе. Понятия теории множеств отражают наиболее общие свойства математических объектов. Обычно теорию множеств излагают в учебниках для университетов. В настоящей книге в популярной форме описываются основные понятия и результаты теории множеств. Книга предназначена для учащихся старших классов средней школы, интересующихся математикой, а также для широких кругов читателей, желающих узнать, что такое теория множеств.
Оглавление
Предисловие ко второму изданию............................................3
Глава I. Множества и действия над ними ......................5
Что такое множество....................................................................5
Как задают множества ................................................................6
Брить или не брить? ....................................................................11
Пустое множество..........................................................................15
Теория множеств и школьная математика..............................16
Подмножества ................................................................................20
Теория множеств и комбинаторика ..........................................22
Универсальное множество ..........................................................24
Пересечение множеств..................................................................24
Сложение множеств ......................................................................29
Разбиение множеств......................................................................32
Арифметика остатков ..................................................................33
Вычитание множеств....................................................................35
Алгебра множеств..........................................................................36
Планета мифов ..............................................................................41
Булевы алгебры..............................................................................45
Глава II. В мире чудес бесконечного ..................................48
Тайны бесконечности....................................................................48
Необыкновенная гостиница, или тысяча первое путешествие Йона Тихого ........................................................................51
Как сравнивать множества..........................................................59
На танцплощадке ..........................................................................60
На каждый прилив — по отливу................................................61
Равна ли часть целому? ..............................................................63
Счетные множества ......................................................................65
Алгебраические числа ..................................................................67
Восьмерки на плоскости ..............................................................70
Неравные множества ....................................................................72
Счетное множество — самое маленькое из бесконечных ... 74
Несчетные множества ..................................................................75
Несостоявшаяся перепись ............................................................76
Несчетность континуума ..............................................................78
Существование трансцендентных чисел ..................................80
На длинном и коротком отрезках поровну точек ..................81
Отрезок и квадрат ........................................................................82
Одна задача почему-то не выходит ..........................................85
Существует ли множество самой большой мощности? . . . . 86
Арифметика бесконечного ..........................................................88
Возведение в бесконечную степень ............................................90
По порядку номеров........................................................................91
Вполне упорядоченные множества ............................................92
Непонятная аксиома ......................................................................94
Из одного яблока — два ..............................................................96
Конечные разбиения ....................................................................97
Глава III. Удивительные функции и линии, или прогулки по математической кунсткамере..........99
Как развивалось понятие функции ..........................................99
Джинн выходит из бутылки........................................................102
Мокрые точки ................................................................................104
Чертова лестница ..........................................................................107
Колючая линия ..............................................................................109
Замкнутая линия бесконечной длины ......................................112
Математический ковер ................................................................114
Евклид отказывает в помощи ....................................................117
Нужны ли строгие определения? ..............................................118
Линия — след движущейся точки ............................................120
Теорема очевидна, доказательство — нет................................122
Кривая проходит через все точки квадрата............................123
Все лежало в развалинах ............................................................125
Как делают статуи........................................................................126
Континуумы....................................................................................128
Канторовы линии ..........................................................................129
Всегда ли площадь линии равна нулю? ..................................130
Области без площади....................................................................132
Неожиданные примеры................................................................134
Области и границы........................................................................135
Большие ирригационные работы ..............................................136
«Недиссертабельная» тема..........................................................138
Индуктивное определение размерности ..................................139
Работу надо не рецензировать, а печатать! ............................141
Заключение..........................................................................................144
Примеры и упражнения................................................................145
