Галкин В.Я., Сычугов Д.Ю., Хорошилова Ё.В. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. — М., факультет ВМиК МГУ 2002. — 180 стр.
Рецензенты: академик Ильин В. А., доцент Леонтьева Т. А.
В данном пособии в пределах школьного курса математики и программы вступительных экзаменов рассматриваются элементы теории чисел. Излагается необходимый теоретический материал. Особое внимание уделено задачам. Проводится разбор основных типов задач, в том числе конкурсных задач практически всех факультетов МГУ за последние 37 лет и других вузов. В конце каждого раздела приводится большое число задач для самостоятельной работы. В конце книги даны решения задач или указания к решению и ответы.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ...........................................................................5
ГЛАВА 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА..................................................8
§1. Введение в натуральные числа................................................8
§2. Делимость, простые и составные числа..................................10
§3. Делимость с остатком............................................................
§4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное...... 21
Задачи для самостоятельной работы.................................................24
ГЛАВА 2. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА..............................................................32
§ 1. Задачи на делимость.........................................................32
§2. Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными...37
§3. Диофантовы уравнения второго и высших порядков.................. 43
§4. Неравенства в целых числах.....................................................63
§5. Системы уравнений и неравенств в целых числах...................... 68
§6. Задачи с параметрами и целые числа........................................ 74
§7. Экстремальные задачи с целыми числами................................. 83
Задачи для самостоятельной работы................................................96
ГЛАВА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА..................................................103
§1. Свойства числовых дробей. Сократимые и несократимые дроби 103
§2. Представление рациональных чисел десятичными дробями....... 109
§3. Разные задачи с рациональными числами................................111
Задачи для самостоятельной работы..................................................116
ГЛАВА 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА......................120
§1. Некоторые теоретические положения.................................... 120
§2. Доказательство иррациональности некоторых чисел...................123
§3. Разные задачи с иррациональностью.......................................126
Задачи для самостоятельной работы.............................................129
РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ..........................132
Глава 1...........................................................................132
Глава 2.................................................................. 152
Глава 3..................................................................................166
Глава 4....................................................................... 174
ЛИТЕРАТУРА....................................................... 179
