Прасолов В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. – М., 2004. — 352 c.
Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода.
Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии.
Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями.
Оглавление
Некоторые обозначения ..................................................7
Предисловие ................................................................9
Основные определения....................................................13
Глава I. Графы ..........................................................17
§1. Топологические и геометрические свойства графов..............17
1.1. Планарные графы..........................................17
1.2. Формула Эйлера для планарных графов................27
1.3. Вложения графов в трёхмерное пространство..........30
1.4. n-связные графы..........................................32
1.5. Теорема Штейница........................................35
§2. Гомотопические свойства графов ..................................41
2.1. Фундаментальная группа графа..........................41
2.2. Накрытия 1-мерных комплексов........................46
2.3. Накрытия и фундаментальная группа....................51
§ 3. Инварианты графов..................................................57
3.1. Хроматический многочлен................................59
3.2. Многочлен от трёх переменных..........................61
3.3. Многочлен Ботта—Уитни..................................62
3.4. Инварианты Татта..........................................64
Глава II. Топология в евклидовом пространстве..................66
§4. Топология подмножеств евклидова пространства................66
4.1. Расстояние от точки до множества......................66
4.2. Продолжение непрерывных отображений..............67
4.3. Теоремы Лебега о покрытиях............................70
4.4. Канторово множество ....................................73
§ 5. Кривые на плоскости................................................75
5.1. Теорема Жордана..........................................75
5.2. Теорема Уитни—Грауштейна..............................78
5.3. Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба 81
§ 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера..............................83
6.1. Теорема Брауэра..........................................83
6.2. Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра . . 88
6.3. Лемма Шпернера..........................................91
6.4. Теорема Какутани..........................................96
Глава III. Топологические прострапства ............................98
§7. Элементы общей топологии ........................................98
7.1. Хаусдорфовы пространства и компактные пространства ..........................................................98
7.2. Нормальные пространства................102
7.3. Разбиения единицы....................104
7.4. Паракомпактные пространства.............106
§8. Симплициальные комплексы....................112
8.1. Евклидовы клеточные комплексы............ИЗ
8.2. Симплициальные отображения.............114
8.3. Абстрактные симплициальные комплексы.......115
8.4. Симплициальные аппроксимации............117
8.5. Нерв покрытия ......................122
8.6. Псевдомногообразия...................123
8.7. Степень отображения в евклидово пространство ... 125
8.8. Теорема Борсука—Улама.................128
8.9. Следствия и обобщения теоремы Борсука—Улама . . 130
§9. СW-комплексы...........................132
9.1. Приклеивание по отображению.............132
9.2. Определение CW-комплексов..............134
9.3. Топологические свойства.................138
9.4. Клеточная аппроксимация................142
9.5. Геометрическая реализация CW-комплексов.....144
§10. Конструкции.............................145
10.1. Прямое произведение...................145
10.2. Цилиндр, конус и надстройка..............146
10.3. Джойн...........................147
10.4. Симметрическая степень.................151
Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения.
Гомотопические группы ..................154
§ 11. Двумерные поверхности ......................154
11.1. Основные определения..................154
11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему виду.............................156
11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей 161
11.4. Риманово определение рода поверхности .......164
§ 12. Накрытия...............................164
12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей . . 165
12.2. Существование накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой............166
12.3. Единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой............168
12.4. Локальные гомеоморфизмы...............171
§ 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа ......173
13.1. Род графа.........................173
13.2. Раскраски карт......................175
13.3. Взрезанный квадрат графа................177
§ 14. Расслоения и гомотопические группы...............178
14.1. Накрывающая гомотопия ................178
14.2. Гомотопические группы..................183
14.3. Точная последовательность расслоения........185
14.4. Относительные гомотопические группы........190
14.5. Теорема Уайтхеда.....................193
Глава V. Многообразия ........................197
§ 15. Определение и основные свойства ................197
15.1. Многообразия с краем..................198
15.2. Отображения многообразий...............201
15.3. Гладкие разбиения единицы...............204
15.4. Теорема Сарда.......................205
15.5. Важный пример: многообразия Грассмана.......210
§16. Касательное пространство.....................217
16.1. Дифференциал отображения...............220
16.2. Векторные поля......................221
16.3. Риманова метрика.....................224
16.4. Дифференциальные формы и ориентируемость .... 224
§ 17. Вложения и погружения......................227
17.1. Вложения компактных многообразий..........228
17.2. Триангуляция замкнутого многообразия........230
17.3. Погружения........................233
17.4. Вложения некомпактных многообразий ........236
17.5. Невозможность некоторых вложений..........239
§ 18. Степень отображения........................241
18.1. Степень гладкого отображения.............241
18.2. Индекс особой точки векторного поля.........246
18.3. Теорема Хопфа......................253
18.4. Аппроксимации непрерывных отображений......255
18.5. Конструкция Понтрягина.................257
18.6. Гомотопически эквивалентные линзовые пространства 259
§ 19. Теория Морса............................261
19.1. Функции Морса......................261
19.2. Градиентные векторные поля и приклеивание ручек . 267
19.3. Примеры функций Морса................273
Глава VI. Фундаментальная группа .................282
§20. СW-комплексы...........................282
20.1. Основная теорема.....................282
20.2. Некоторые примеры ...................284
20.3. Фундаментальная группа пространства SO(n) .... 288
§21. Теорема Зейферта—ван Кампена .................292
21.1. Эквивалентные формулировки..............292
21.2. Доказательство......................294
21.3. Группа узла ........................298
21.4. Рогатая сфера Александера...............302
§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой . 304
22.1. Дополнение к набору комплексных прямых......305
22.2. Теорема ван Кампена...................308
22.3. Применения теоремы ван Кампена...........314
Решения и указания ...........................316
Литература ................................338
Предметный указатель.........................345
