Вайнберг М. М. Функциональный анализ ОНЛАЙН

Вайнберг М. М. Функциональный анализ: Спец. курс. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
Учебное пособие по программе физико-математических факультетов педагогических институтов представляет собой введение в функциональный анализ. В книге нашли отражение не только основные понятия и результаты (теоремы Хана—Банаха, Штенгауза и т. д.), но и приложения функционального анализа.
В первых двух главах изучаются основные функциональные пространства (метрические, нормированные и, в частности, гильбертово пространство).
Главы III и IV посвящены рассмотрению линейных операторов и функционалов.
В главе V изучаются различные виды сходимости последовательностей элементов пространства и линейных функционалов, причем в последних двух параграфах этой главы рассматриваются вопросы, нужные при изучении избранных вопросов нелинейного функционального анализа, изложенных в § 19—30. Содержание последних 12 параграфов видно из оглавления. Разумеется, многие вопросы функционального анализа не вошли в данное учебное пособие и, в частности, не вошла спектральная теория линейных операторов. Даны также дополнения, в которых содержатся примеры, задачи и следующие вопросы, нужные при изучении данного спецкурса: топологическая степень отображения, функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса, абсолютно непрерывные, функции и неопределенный интеграл Лебега.
В конце книги указана использованная автором литература, причем в библиографии, помещенной в [1], [4] и [5], приведены книги, по которым можно познакомиться с другими вопросами функционального анализа, не вошедшими в данное учебное пособие.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ………………………………………………..3
Глава I. Метрические пространства
§ 1. Основные понятия и аксиомы метрического пространства……….5
1.1. Примеры ……………………………………….—
1.2. Основные понятия ………………………………..6
1.3. Пространство непрерывных функций ………………….7
§ 2. Принцип сжимающих отображений ……………………….8
2.1. Отображения в метрических пространствах…………….—
2.2. Теорема существования неподвижной точки преобразования…..9
2.3. Теорема Коши для дифференциальных уравнений……….10
Глава II. Линейные пространства
§ 3. Линейные или векторные пространства ……………………12
3.1. Аксиомы линейного пространства ……………………—
3.2. Некоторые вспомогательные понятия ………………….13
§ 4. Нормированные и банаховы пространства………………….—
4.1. Основные понятия ………………………………..—
4.2. Пространства С, LP, IP………………………………14
4.3. Абстрактное гильбертово пространство ………………17
4.4. Неравенство Коши и треугольника……………………—
§ 5. Топологические и топологические линейные пространства …. 19
5.1. Общие топологические пространства………………….—
5.2. Топологические линейные пространства ………………20
Глава III. Линейные операторы
§ 6. Предварительные понятия и простейшие предложения…………22
6.1. Ограниченность и норма …………………………..—
6.2. Критерий ограниченности линейных операторов…………—
6.3. Последовательности линейных операторов ……………..25
6.4. Сильная и равномерная сходимости. Связь между ними …. 26
§ 7. Пространство линейных ограниченных операторов…………..27
7.1. Полнота пространства L (Ех, Eg) ……………………—
7.2. Сопряженное пространство и его полнота………………28
§ 8. Теорема Банаха — Штейнгауза …………………………—
8.1. Вспомогательное предложение ……………………….—
8.2. Теорема Банаха — Штейнгауза ……………………..29
§ 9. Обратный оператор ……………………………………30
9.1. Линейность оператора, обратного к линейному…………..—
9.2. Критерий ограниченности обратного оператора …………—
9.3. Теорема Банаха об обратном операторе………………..31
Глава IV. Дальнейшее исследование линейных операторов и линейных пространств
§ 10. Замкнутые операторы ………………………………….35
10.1. Вспомогательные понятия ………….. . —
10.2. Пример замкнутого оператора, не являющегося ограниченным ……..36
§ 11. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Основные теоремы 36
11.1. Ортогональное дополнение к замкнутому подпространству —
11.2. Теорема о разложении пространства в ортогональную сумму подпространств…………….37
§ 12. Представление линейных непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве…………38
§ 13. Представление линейных непрерывных функционалов в некоторых других пространствах ………..39
13.1. Представление линейных непрерывных функционалов в пространствах Лебега……………….—
13.2. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве lp (р> 1)……………….43
13.3. Представление линейных непрерывных функционалов на пространстве непрерывных функций………………..46
13.4. Теорема Хана — Банаха и некоторые ее следствия……….—
§ 14. Сопряженные операторы ………………………………52
14.1. Ограниченность сопряженного оператора …………….53
14.2. Второе сопряженное пространство ……………………..—
Глава V. О некоторых видах сходимости элементов нормированного пространства
§ 15. О сильной и слабой сходимости…………………………..55

15.1. Основные понятия и вспомогательные предложения …. —
15.2. Связь между сильной и слабой сходимостями…………..—
15.3. Основные теоремы о совпадении сильной и слабой сходимостей 56
15.4. Некоторые предложения о слабом пределе…………….58
§ 16. О секвенциально слабо замкнутых множествах в нормированных пространствах ……………….59
§ 17. О слабой сходимости функционалов…………..—
§ 18. О слабой полноте и слабой компактности пространств…………60
Глава VI. Некоторые вопросы нелинейного анализа
§ 19. О некоторых видах непрерывности нелинейных отображений … 61
19.1. Основные определения …………………………….—
19.2. Связь между усиленной и полной непрерывностью……….—
§ 20. Произвольная и градиент функционала……………………62
20.1. Примеры вычисления градиентов ……………………63
20.2. Формула Лагранжа и неравенство Липшица…………..—
§ 21. Дифференцируемость по Фреше …………………………64
21.1. Связь между производными по Гато и по Фреше…………—
21.2. Основная теорема ………………………………..—
§ 22. Потенциальные операторы …………………………….65
22.1. Оператор Немыцкого …………………………….—
22.2. Условия потенциальности операторов ………………..66
22.3. Связь между потенциальными операторами и его потенциалом…—
§ 23. Сопряженные и самосопряженные нелинейные операторы …. 67
23.1. Сопряженные нелинейные операторы и их простейшие свойства…………—
23.2. Симметрия и кососимметрия ……………………….68
23.3. Условия сопряженности …………………………..70
§ 24. Выпуклые функционалы и монотонные операторы…………….71
24.1. Два определения выпуклого функционала и их эквивалентность —
24.2. Связь между выпуклостью функционала и монотонностью его градиента………..72
§ 25. Полунепрерывные и слабо полунепрерывные снизу функционалы ……73
25.1. О слабой полунепрерывности снизу выпуклых и дифференцируемых по Гато функционалов…..74
25.2. Критерий слабой полунепрерывности снизу функционалов . —
25.3. Опорный функционал (субградиент) и его связь со слабой полунепрерывностью……………75
§ 26. Теоремы существования и единственности минимума…………—
26.1. Экстремальные точки функционалов и обобщенная теорема Вейерштрасса…………………—
26.2. Элементарный принцип критической точки…………….77
26.3. Теоремы существования критических точек…………….79
§ 27. Вариационный метод исследования нелинейных уравнений ……80
27.1. Идея метода ……………………………………—
27.2. Теоремы существования решений ……………………81
§ 28. Минимизирующие последовательности ……………………83
28.1. Минимизирующие последовательности и некоторые их свойства…………………—
28.2. Корректная постановка задачи минимизации…………..85
28.3. Метод наискорейшего спуска ……………………..86
28.4. Метод Ритца ………………………..91
28.5. Метод Ньютона — Канторовича ……………………95
§ 29. Монотонные операторы ……………………98
29.1. Основные понятия и вспомогательные предложения ….—
29.2. Основные теоремы о монотонных отображениях ……101
§ 30. Метод Галеркина -— Петрова решения нелинейных уравнений……102
30.1. Приближения и системы Галеркина ………………—
30.2. Связь с проекционными методами……………………103
30.3. О разрешимости систем Галеркина……………………104
30.4. О некоторых свойствах галеркинских приближений……….105
30.5. О сходимости галеркинских приближений к решению нелинейных функциональных уравнений……..106
Дополнения
Дополнение 1 …………………….. 107
Дополнение II ……………………..109
Дополнение III …………………… 112
Дополнение IV …………………….. —
Дополнение V …………………….123
Использованная литература …………..125

Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×