Олейник О. А. и др. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред ОНЛАЙН

Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 311 с.
Монография посвящена изучению математических задач теории упругости, возникающих при рассмотрении процессов, происходящих в композиционных и перфорированных средах. Основное внимание уделено задачам усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях с различными краевыми условиями, нахождению эффективных характеристик Отдельная глава посвящена вопросу усреднения частот собственных колебаний композитов и перфорированных конструкций.
Для математиков, физиков, а также инженеров, изучающих и использующих композиты и перфорированные конструкции.
Оглавление
Предисловие ......6
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ............................8
§ 1. Основные функциональные пространства и их свойства. Вспомогательные предложения..........8
§ 2. Неравенства Корна.............17
2.1. Первое неравенство Корна..........17
2.2. Второе неравенство Корна.........18
2.3. Неравенства Корна для периодических вектор-функций .....24
2.4. Неравенства Корна для звездных областей.....25
§ 3. Краевые задачи для стационарной системы линейной теории упругости .............29
3.1. Некоторые свойства коэффициентов системы теории упругости ...............29
3.2. Основные краевые задачи теории упругости.....31
З.З. Первая краевая задача (задача Дирихле).....32
3.4. Вторая краевая задача (задача Неймана).....35
3.5. Смешанная краевая задача.........36
§ 4. Перфорированные области с периодической структурой. Теоремы о продолжении...........38
4.1. Основные типы перфорированных областей.....38
4.2. Теоремы о продолжении вектор-функций, заданных в перфорированных областях .........39
4.3. Неравенства Кориа для перфорированных областей . . 44
§ 5 Оценки решений краевых задач для системы теории упругости в перфорированных областях..........46
5.1. Смешанная краевая задача....... .46
5.2. Оценки решений задачи Неймаиа в перфорированной области 47
§ 6. Периодические решения системы теории упругости .... 49
6.1. Решения системы теории упругости, периодические по всем переменным .........49
6.2 Решения системы теории упругости, периодические по части переменных...........50
6.3. Задачи теории упругости в перфорированном слое с условиями периодичности ... .......53
§ 7. Принцип Сен-Венана для периодических решений системы теории упругости...............55
7.1. Обобщенные моменты и их свойства .... 55
7.2. Принцип Сеи-Венана для однородных задач .... 58
7.3. Принцип Сен-Венана для неоднородных задач .... 60
§ 8. Оценки и теоремы существования для периодических решений системы теории упругости в бесконечных областях .... 67
8.1. Теоремы типа Фрагмена— Лииделефа.......67
8.2. Существование решений в бесконечных областях ... 70
8.3. Решения, стабилизирующиеся на бесконечности к постоянной вектор-функции.............74
§ 9. Сильная G-сходимость операторов теории упругости ... 77
9.1. Необходимые и достаточные условия сильной G сходимости 77
9.2. Оценки скорости сходимости решений задачи Дирихле для последовательности сильно G-сходящихся операторов . . 88
ГЛАВА II. УСРЕДНЕНИЕ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТЫ И ПЕРФОРИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ... 94
§ 1. Краевая задача в перфорированной области с условиями Дирихле на внешней части границы и условиями Неймана на поверхности полостей .... . . .. . 94
1.1. Постановка задачи Усредненные уравнения .... 94
1.2. Основные оценки и их приложения ... . 98
§ 2. Краевая задача с условиями Неймана в перфорированной области ...106
2.1. Усреднение решений задачи Неймана в области Q для эллиптического уравнения второго порядка с быстро осциллирую* щими периодическими коэффйциентами 106
2.2. Усреднение решений задачи Неймана для системы теории упругости в перфорированной области Формулировка основных результатов...........111
2.3 Некоторые вспомогательные результаты .....113
2.4. Доказательство оценки отклонения решения задачи Неймана в перфорированной области от решения усредненной задачи ...118
2.5. Оценки энергии и тензоров напряжений......124
2.6. Некоторые обобщения..........125
§ 8. Асимптотические разложения решений краевых задач для системы теории упругости в перфорированном слое.....128
3.1. Постановка задачи .......128
3.2. Построение формального асимптотического разложения ......130
3.3. Обоснование асимптотического разложения Оценки остаточного члена .... . . 136
§ 4. Асимптотическое разложение решений задачи Дирихле для системы теории упругости в перфорированной области . . 141
4.1. Постановка задачи Вспомогательные результаты . . . 142
4.2. Обоснование асимптотического разложения .... 147
§ 5. Асимптотическое разложение решений задачи Дирихле для бигармонического уравнения в перфорированной области Некоторые обобщения на случай перфорированных областей с непериодической структурой . . . .....152
5.1. Постановка задачи Вспомогательные предложения . . . 152
5.2. Построение и обоснование асимптотического разложения решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в перфорированной области ... . 158
5.3. Перфорированные области с непериодической структурой ....... 163
§ 6. Об усреднении системы теории упругости с почти-периодическими коэффициентами.............165
6.1. Пространства почти-периодических функций . . . 165
6.2. Система теории упругости с почти-периодическими коэффициентами Почти-решения ..... 168
6.3. Сильная G-сходимость операторов теории упругости с быстро осциллирующими почти-периодическими коэффициентами ...174
§ 7. Усреднение слоистых структур .... .....176
7.1. Формулы для усредненных уравнений. Оценки решений 176
7.2. Необходимые и достаточные условия сильной G-сходимости для операторов, описывающих слоистые среды... 185
§ 8. Оценки скорости сходимости решений задачи Дирихле для сильно G-сходящейся последовательности эллиптических операторов высокого порядка....... .....196
8.1. Эллиптические операторы в многомерных областях ... 196
8.2. Обыкновенные дифференциальные операторы .... 204
ГЛАВА III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УСРЕДНЕНИЯ .
§ 1 Некоторые сведения из функционального анализа. Спектральные задачи для абстрактных операторов ..... . 210
1.1. Оценки разности собственных значений двух операторов, действующих в одном пространстве........... 210
1.2. Оценки разности собственных значений и собственных векторов двух операторов, действующих в разных пространствах 215
§ 2. Усреднение собственных значений и собственных функций краевых задач теории упругости для сильно неоднородных сред . 222 2.1. Задача Дирихле для сильно G-сходящихся операторов .... 222
2.2. Задача Неймана для операторов теории упругости с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами в перфорированной области...........225
2.3. Смешанная краевая задача теории упругости в перфорированной области....... ..... 231
2.4. Собственные колебания сильно неоднородных слоистых тел .....234
§ 3. О поведении собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в перфорированной области . .............236
3.1. Постановка задачи Формальные построения ....236
3.2. Пространства Соболева с весом Обобщенные решения уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой...............238
3.3. Усреднение эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на границе области.... . 248
3.4. Усреднение собственных значений и собственных функций задачи Дирихле в перфорированной области...252
§ 4. Третья краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с быстро осциллирующей границей . . .255
4.1. Оценки решений............255
4.2. Оценка собственных значений и собственных функций ...... 260
§ 5. Собственные колебания тел с концентрированными массами ..... 262
5.1. Постановка задачи...........262
§ 6 Поведение собственных значений краевых задач в области с отверстиями малой суммарной концентрации и краевым условием Дирихле на границе............278
§ 7. Усреднение собственных значений обыкновенных дифференциальных операторов..........283
§ 8. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций задачи Штурма—Лиувилля с быстро осциллирующими коэффициентами............284
§ 9. О поведении собственных функций и собственных значений G-cxoдящейся последовательности несамосопряженных операторов .... 292

Convert your PDF to digital flipbook ↗