Норден А.П. Теория поверхностей ОНЛАЙН

Норден А.П. Теория поверхностей  ОНЛАЙН

Норден А.П. Теория поверхностей. М., 1956. - 261 с.
Объем настоящего пособия соответствует годовому курсу теории поверхностей. При этом, естественно, предполагается знакомство читателя с общим курсом дифференциальной геометрии, в связи с чем главы I и III носят повторительный характер. Элементарна по методу и глава VI, хотя в ней и рассматриваются важные классы поверхностей, не изучаемые в общем курсе дифференциальной геометрии.
Характер изложения основного содержания книги определялся стремлением использовать не только общие преимущества тензорного метода, но и те его особенности, которые характерны для двумерной области.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..........................................................6
Глава I. Элементы теории кривых................................7
§ 1. Кривая линия и ее уравнение....................................7
§ 2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость................9
§ 3. Натуральный параметр и сопровождающий трехгранник кривой . 11
§ 4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы Серре — Френе . . 13
§ 5. Винтовая линия и окружность....................................14
Глава И. Элементы тензорной алгебры............................17
§ 6. Аффинная система координат на плоскости......................17
§ 7. Скалярное произведение и ковариантные координаты..............19
§ 8. Косое произведение и дополнительный вектор....................21
§ 9. Понятие тензора................................................23
§ 10. Основные действия тензорной алгебры..........................26
§11. Симметричный тензор второй валентности........................33
§ 12. Свертывание тензоров............................................37
Глава ІІІ. Поверхность и ее касательная плоскость..............40
§ 13. Поверхность и ее параметризация................................40
§ 14. Касательная прямая и касательная плоскость поверхности .... 44
§ 15. Огибающая семейства поверхностей..............................46
§ 16. Развертывающиеся поверхности..................................50
§ 17. Развертывающиеся поверхности, связанные с пространственной
кривой..........................................................55
Глава IV. Первая квадратичная форма поверхности..............58
§ 18. Местная система координат и метрический тензор поверхности . 58
§ 19. Линейный элемент и наложимость поверхностей..................60
§ 20. Угол между линиями на поверхности и конформное отображение 62
§ 21. Семейство линий на поверхности. Ортогональные траектории и
сети............................................................64
§ 22. Мера площади поверхности. Эквивалентное соответствие .... 67
Глава V. Вторая квадратичная форма поверхности..............70
§ 23. Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма..............70
§ 24. Теорема Менье..................................................72
§ 25. Тензор второй квадратичной формы и его инварианты............75
§ 26. Классификация точек поверхности................................76
§ 27. Сопряженные направления и сети................................82
§ 28. Асимптотические линии..........................................85
§ 29. Линии кривизны..................................................87
Глава VI. Поверхность вращения и ее обобщения................90
§ 30. Поверхность вращения и ее изгибание............................90
§ 31. Вторая квадратичная форма поверхности вращения................92
§ 32. Частные виды поверхности вращения............................94
§ 33. Винтовые поверхности............................................97
§ 34. Резные поверхности..............................................99
§ 35. Каналовые поверхности.....................100
Глава VІІ. Линейчатые поверхности и прямолинейные конгруэнции .............................102
§ 36. Линейный элемент и касательная плоскость линейчатой поверхности ..............................102
§ 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые.........103
§ 38. Присоединенные точки и точки стрикции.............105
§ 39. Параметр распределения....................106
§ 40. Асимптотические линии линейчатой поверхности.........107
§ 41. Прямолинейная конгруэнция и ее основные квадратичные формы 109
§ 42. Развертывающиеся и фокальные поверхности конгруэнции .... 111
§ 43. Нормальная конгруэнция....................113
Глава VІІІ Векторные и тензорные поля на поверхности .... 114
§ 44. Скалярное поле.........................114
§ 45. Ротация векторного поля....................115
§ 46. Дивергенция векторного поля..................118
§ 47. Лапласово поле, гармонические функции и изотермические координаты .............................119
§ 48. Деривационные формулы Гаусса................123
§ 49. Параллельное перенесение векторов...............125
§ 50. Абсолютное и ковариантное дифференцирование.........128
§ 51. Ковариантная производная....................132
§ 52. Основное дифференциальное уравнение векторного поля.....135
Глава IX. Геодезическая кривизна и геодезические линии ... 141
§ 53. Геодезическая кривизна.....................141
§ 54. Геодезические линии......................143
§ 55. Геодезическое поле.......................145
§ 56. Геодезически-изотермическое поле................148
§ 57. Геодезически-биссекторное поле.................149
§ 58. Поверхность Лиувилля.....................150
§ 59. Геодезические линии поверхности вращения...........154^
§ 60. Конгруэнция касательных к линиям геодезического поля.....154'
§ 61. Поверхности Вейнгартена....................156
Глава X. Элементы теории сетей.................159
§ 62. Присоединенная точка векторного поля.............159
§ 63. Присоединенная прямая и чебышевский вектор сети.......161
§ 64. Кодацциевы сети........................163
§ 65. Ортогональные сети.......................164
§ 66. Геодезические сети.......................165
§ 67. Чебышевская сеть...................... 166
§ 68. Поверхность переноса.....................168
§ 69. Сети равных путей.......................169
§ 70. Изотропные направления и изотропная сеть...........171
Глава XI. Отображение поверхностей...............173
§ 71. Общие свойства дифференцируемых соответствий........173
§ 72. Конформное соответствие поверхностей.............176
§ 73. Конформное соответствие плоскостей..............179
§ 74. Инверсия............................182
§ 75. Стереографическая проекция..................186
§ 76. Геодезическое соответствие . ..................188
§ 77. Сферическое отображение....................193
Глава XII. Полная кривизна как инвариант внутренней геоме-
трии поверхности.......................200
§ 78. Теорема Гаусса.........................200
§ 79. Теорема Гаусса ~ Бонне....................204
§ 80. Теорема Гаусса — Бонне для многосвязных областей и замкнутых
поверхностей ....................................................206
§ 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования.......209
§ 82. Теорема Петерсона.......................211
§ 83. Уравнение изгибания......................215
§ 84. Полная кривизна поверхности вращения.............217
Глава XIII. Поверхности постоянной кривизны. ........219
§ 85. Геодезически-изотермические поля на поверхности постоянной
кривизны............................219
§ 86. Линейный элемент поверхностей постоянной кривизны и их наложимость ............................220
§ 87. Геодезические линии и геодезические пучки на псевдосфере . . . 222
§ 88. Внутренняя геометрия псевдосферы...............229
§ 89. Геодезические линии поверхностей постоянной кривизны.....231
Глава XIV. Минимальные поверхности..............234
§ 90. Поверхность наименьшей площади.................234
§ 91. Присоединенная поверхность..................235
§ 92. Формулы Шварца.......................236
§ 93. Сферическое отображение и изгибание минимальных поверхностей 237
§ 94. Формулы Вейерштрасса.....................239
Глава XV. Триортогональные системы поверхностей.......242
§ 95. Криволинейные координаты в пространстве...........242
§ 96. Триортогональная система поверхностей.............245
§ 97. Условия Ляме..........................248
§ 98. Софокусные поверхности второго порядка............249
§ 99. Эллиптические координаты на центральной поверхности второго
порядка............................252
Литература...........................255
Алфавитныйуказатель....................256
Указатель обозначений...................260

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 − три =

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.