Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. Учеб. пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. - М., 1970. - 712 с. с илл.
Книга «Уравнения в частных производных математической физики» предназначена в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов университетов и технических вузов. Она является результатом переработки и дополнения двух известных книг: «Дифференциальные уравнения математической физики» (авт. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов) и «Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка» (авт. М. М. Смирнов).
Предназначено для студентов университетов и втузов.
Оглавление
Введение
Глава I. Вывод основных уравнений математической физики
§ 1. Уравнение колебаний струны
§ 2. Уравнение колебаний мембраны
§ 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
§ 4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
§ 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
Глава II. Классификация уравнений второго порядка
§ 1. Типы уравнений второго порядка
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными
Глава III. Уравнения первого порядка
§ 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
§ 2 Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Глава IV. Применение метода характеристик к изучению малых колебаний струны
§ 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера
§ 2. Понятие об обобщенных решениях
Глава V. Продольные колебания стержня
§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения. Начальные и граничные условия
§ 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом
§ 3. Продольный удар груза по стержню
Глава VI. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
§ 1. Задача Коши
§ 2. Задача Гурса
§ 3. Метод Римана
§ 4. Примеры на приложение метода Римана
Глава VII. Применение метода характеристик к изучению колебаний в электрических линиях
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
§ 2. Телеграфное уравнение
§ 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
§ 4. Электрические колебания в бесконечном проводе
§ 5. Колебания в линии, свободной от искажения
§ 6. Граничные условия для провода конечной длины
Глава VIII. Волновое уравнение
§ 1 Формула Пуассона
§ 2. Цилиндрические волны
§ 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных
§ 4 Теорема единственности
§ 5. Неоднородное волновое уравнение
§ 6. Точечный источник
Глава IX. Некоторые общие вопросы теории дифференциальных уравнений гиперболического типа
§ 1. Задача Коши. Характеристики
§ 2. Бихарактеристики
§ 3. Слабый разрыв. Фронт волны
§ 4. Распространение разрывов по лучам
Глава X. Применение метода Фурье к изучению свободных колебаний струн и стержней
§ 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны
§ 2. Колебание защепленной струны
§ 3. Колебания струны под действием удара
§ 4. Продольные колебания стержня
§ 5 Общая схема метода Фурье
Глава XI. Вынужденные колебания струн и стержней
§ 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах
§ 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня
§ 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами
§ 4. Единственность решения смешанной задачи
Глава XII. Крутильные колебания однородного стержня
§ 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня
§ 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском
Глава XIII. Функции Бесселя
§ 1. Уравнение Бесселя
§ 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя
§ 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни
§ 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя
§ 5. Некоторые интегральные представления функций Бесселя
§ 6. Функции Ханкеля
§ 7. Функции Бесселя мнимого аргумента
Глава XIV. Малые колебания нити, подвешенной за один конец
§ 1. Свободные колебания подвешенной нити
§ 2. Вынужденные колебания подвешенной нити
Глава XV. Малые радиальные колебания газа
§ 1. Радиальные колебания газа в сфере
§ 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке
Глава XVI. Полиномы Лежандра
§ 1. Дифференциальное уравнение Лежандра
§ 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма
§ 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра
§ 4. Интегральные представления полиномов Лежандра
§ 5. Производящая функция
§ 6 Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра и их производными
§ 7. Функция Лежандра второго рода
§ 8. Малые колебания вращающейся струны
Глава XVII. Применение метода Фурье к исследованию малых колебаний прямоугольной и круглой мембраны
§ 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны
§ 2. Свободные колебания круглой мембраны
§ 3. Метод Фурье в многомерном случае
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Глава XVIII. Интегральные формулы, применяемые в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа
§ 1. Определения и обозначения
§ 2. Формулы Остроградского-Гаусса и Грина
§ 3*. Преобразование формулы Грина
§ 4*. Функции Леви
§ 5*. Формула Грина-Стокса
§ 6*. Формула Грина-Стокса в случае двух измерений
§ 7. Представление некоторых дифференциальных выражений в ортогональных системах координат
Глава IX. Уравнения Лапласа и Пуассона
§ 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа
§ 2. Граничные задачи
§ 3. Гармонические функции
§ 4. Единственность решений граничных задач
§ 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная формула теории гармонических функций
§ 6 Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара
§ 7 Функция Грина
§ 8. Гармонические функции на плоскости
Глава XX. Теория потенциала
§ 1. Ньютоновский потенциал
§ 2. Потенциалы разных порядков
§ 3. Мультиполи
§ 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции
§ 5. Потенциалы простого и двойного слоя
§ 6*. Поверхности Ляпунова
§ 7*. Сходимость и непрерывная зависимость несобственных интегралов от параметров
§ 8*. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных производных при пересечении слоя
§ 9*. Тангенциальные производные потенциала простого слоя и производные по любому направлению
§ 10*. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя
§ 11. Уровенные распределения
§ 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса
§ 13. Поле тяжести. Теорема Стокса
§ 14. Логарифмический потенциал
Глава XXI. Сферические функции
§ 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций
§ 2. Ортогональность сферических функций
§ 3. Разложение по сферическим функциям
§ 4. Применение сферических функций для решения граничных задач
§ 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара
§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара
Глава XXII. Приложение теории сферических функций к решению задач математической физики
§ 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделенного слоем диэлектрика на два полушария
§ 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре
§ 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном шаре
§ 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости
Глава XXIII*. Гравитационные волны на поверхности жидкости
§ 1. Постановка проблемы
§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины
§ 3. Кольцевые волны
§ 4. Метод стационарной фазы
Глава XXIV. Уравнение Гельмгольца
§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями гиперболического и параболического типов
§ 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в ограниченной области
§ 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего вида. Разложения по собственным функциям
§ 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах
§ 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в бесконечной области
§ 6. Интегральные формулы
§ 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в бесконечной области
§ 8*. Вопросы единственности решений внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца
Глава XXV. Излучение и рассеяние звука
§ 1. Основные зависимости для звуковых полей
§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра
§ 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник
§ 4. Излучение из отверстия в плоском экране
§ 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара
§ 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его поверхности. Акустические или колебательные мультиполи
§ 7. Рассеяние звука
Дополнение к части второй *. Сведения об уравнениях эллиптического типа общего вида
§ 1. Общий вид уравнения эллиптического типа
§ 2. Основные граничные задачи
§ 3. Сопряженные граничные задачи
§ 4. Фундаментальные решения. Функция Грина
§ 5. Теоремы единственности
§ 6. Условия разрешимости граничных задач
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Глава XXVI. Постановка граничных задач. Теоремы единственности
§ 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме
§ 2. Задача Коши
Глава XXVII. Распространение тепла в бесконечном стержне
§ 1. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне
Глава XXVIII. Применение метода Фурье к решению граничных задач
§ 1. Распространение тепла в ограниченном стержне
§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности
§ 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
§ 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров
§ 5. Распространение тепла в однородном шаре
§ 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава XXIX. Уравнения электромагнитного поля
§ 1. Векторные поля
§ 2. Уравнения Лоренца-Максвелла
§ 3. Уравнения Максвелла
§ 4. Уравнения магнитной гидродинамики
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля
§ 6. Периодические по времени электромагнитные поля
§ 7. Условия на бесконечности и граничные условия
§ 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных функций
§ 9. Теорема единственности
Глава XXX. Направляемые электромагнитные волны
§ 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные и поперечно-электромагнитные волны
§ 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделенные диэлектриком
§ 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн
§ 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения
§ 5. ТЕ-волны в волноводе круглого сечения
§ 6. Волны в коаксиальном кабеле
§ 7. Волны в диэлектрическом стержне
Глава XXXI. Электромагнитные рупоры и резонаторы
§ 1. Секториальный рупор и секториальный резонатор
§ 2. Сферический резонатор
Глава XXXII. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
§ 1. Введение
§ 2. Задача Штурма-Лиувилля
§ 3. Функция Грина
§ 4. Экстремальные свойства собственных функций
§ 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на конечном интервале
§ 6. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля
§ 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма-Лиувилля на полубесконечном интервале
§ 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал)
§ 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма-Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны
§ 10. Разложение по бесселевым функциям
Глава XXXIII. Применение интегральных преобразований для решения задач математической физики
§ 1. Введение
§ 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального преобразования
§ 3. Интегральные преобразования в конечных пределах
§ 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий случай)
§ 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными пределами
Глава XXXIV. Примеры применения конечных интегральных преобразований
§ 1. Колебания тяжелой нити
§ 2. Колебания мембраны
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне
§ 4. Распространение тепла в круглой трубе
§ 5. Поток тепла в шаре
§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде
Глава XXXV. Примеры применения интегральных преобразований с бесконечными пределами
§ 1. Задача о колебаниях бесконечной струны
§ 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность которого поддерживается при двух различных температурах
§ 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина
Глава XXXVI. Излучение электромагнитных колебаний
§ 1. Введение
§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально проводящей плоскостью
§ 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой с конечной электропроводностью
§ 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью
§ 5. Поле произвольной системы излучателей
§ 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной электропроводностью
Глава XXXVII. Движение вязкой жидкости
§ 1. Уравнения движения вязкой жидкости
§ 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся диском бесконечного радиуса
§ 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре
Литература
Предметный указатель
Некоторые обозначения
Николай Сергеевич Кошляков (краткий биографический очерк)
