Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. - М., 1958. - 244 с.
Курс построен в соответствии с программами механико-математических и физико-математических факультетов университетов и пединститутов.
Главы: Векторная функция скалярного аргумента Кривая и касательная Длина дуги и сопровождающий трехгранник кривой Натуральные уравнения кривой Развертывающиеся поверхности Поверхность и ее линейный элемент Кривизна линий на поверхности Замечательные сети и линии на поверхности Внутренняя геометрия поверхности Параллельное перенесение.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................7
ЧАСТЬ 1
ГЛАВА I. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
§ 1. Введение ......................................................9
§ 2. Бесконечно малые векторы......................................9
§ 3. Предел переменного вектора..................И
§ 4. Векторная функция скалярного аргумента............12
§ 5. Годограф векторной функции..................13
§ 6. Производная векторной функции ................15
§ 7. Правила дифференцирования вектора..............15
§ 8. Формула Тейлора........................18
§ 9. Вектор постоянной длины и вектор постоянного направления . .19
§ 10. Вектор, параллельный неизменной плоскости...........20
§ 11. Векторные круговые функции .................21
§ 12. Интеграл от векторной функции ............ . . . 22
ГЛАВА II. КРИВАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ
§ 13. Понятие кривой линии ............... . . . . . 24
§ 14. Параметрическое уравнение кривой...............24
§ 15. Касательная прямая кривой...................26
§ 16. Винтовая линия.........................30
§ 17. Неявное уравнение плоской кривой.............. . 30
§ 18. Особые точки кривой, заданной неявным уравнением......32
§ 19. Асимптоты...........................36
§ 20. Касательная и асимптота алгебраической кривой.........37
§ 21. Огибающая семейства плоских кривых ............ . 39
§ 22. Поверхность и ее касательные. Нормаль поверхности......43
§ 23. Цилиндрические и конические поверхности ...........45
§ 24. Особая точка поверхности ...................46
§ 25. Неявное задание пространственной кривой...........48
§ 26. Семейство кривых, зависящих от п параметров.........49
§ 27. Соприкосновение кривых....................50
§ 28. Соприкосновение кривой и поверхности.............53
ГЛАВА III. ДЛИНА ДУГИ И СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ
§ 29. Длина дуги .......................... 55
§ 30. Длина дуги как параметр..........................58
§ 31. Соприкасающаяся плоскость...................60
§ 32. Уравнение соприкасающейся плоскости .............62
§ 33. Сопровождающий трехгранник кривой ............64
§ 34. Формулы Серре — Френе.....................66
§ 35. Другой вывод формул Серре—Френе..............69
§ 36. Лемма о единичном векторе ..................70
§ 37. Кривизна............................70
§ 38. Кручение ...........................71
§ 39. Формулы для вычисления кривизны и кручения.........72
§ 40. Взаимное расположение кривой и плоскости..........75
§ 41. Проекция кривой на соприкасающуюся плоскость ........78
§ 42. Проекция кривой на спрямляющую плоскость ..........78
§ 43. Вид кривой вблизи данной точки ................80
§ 44. Вид кривой вблизи точки уплощения...............82
§ 45. Эволюта плоской кривой .....................83
§ 46. Соприкасающаяся окружность плоской кривой..........85
§ 47. Эвольвента...........................86
§ 48. Трактриса и цепная линия ...................88
ГЛАВА IV. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ
§ 49. Натуральные уравнения ....................91
§ 50. Кривые с общими натуральными уравнениями..........93
§ 51. Дифференциальные уравнения .................95
52. Векторные дифференциальные уравнения............98
53. Лемма о взаимных тройках...................100
54. Независимость кривизны и кручения ..............101
§ 55. Натуральные уравнения плоской кривой......... .... 105
§ 56. Линии откоса ........................ 107
§ 57. Кривые с общими нормалями..................ПО
58. Кривые Бертрана ............................llj^
59. Линейная зависимость между кривизной и кручением ......113
60. Кривые постоянной кривизны..................114
ГЛАВА V. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
§ 61. Огибающая семейства поверхностей...............116
§ 62. Характеристика семейства поверхностей ............. 118
§ 63. Ребро возврата.........................119
§ 64. Развертывающиеся поверхности.................121
§ 65. Полярная поверхность .....................124
§ 66. Характеристическая точка полярной поверхности ........126
§ 67. Соприкасающаяся сфера ...................127
§ 68. Огибающая касательных плоскостей...............129
§ 69. Параллельные кривые.....................130
§ 70. Пространственная эволюта...................132
ЧАСТЬ II
ГЛАВА VI. ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
§ 71. Понятие поверхности.................. . . 134
§ 72. Криволинейные координаты и параметрическое уравнение поверхности
§ 73. Примеры параметризованных поверхностей
§ 74. Касательная прямая поверхности .......140
§ 75. Касательная плоскость .....................141
§ 76. Огибающая семейства плоскостей, зависящих от двух параметров 142
§ 77. Длина дуги....................... . . 143
§ 78. Первая квадратичная форма..............144
§ 79. Угол между двумя линиями .............. 145
§ 80. Ортогональные траектории . .. . ........... 147
§ 81. Площадь поверхности ............. . . 148
§ 82. Поверхность вращения ..........151
§ 83. Косая и развертывающаяся линейчатые поверхности 153
§ 84. Криволинейные координаты в пространстве .. . . . . 156
ГЛАВА VII. КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 85. Нормальная кривизна . . . .............. .... 159
§ 86. Вторая квадратичная форма ..................159
§ 87. Кривизна кривой и ее соприкасающаяся плоскость .......161
§ 88. Нормальное сечение ...............................163
§ 89. Теорема Менье........ . . . . . ....... . 163
§ 90. Индикатриса Дюпена......... 165
§ 91. Формула Эйлера...................... 167
§ 92. Характеристическое уравнение поверхности. Полная и средняя
кривизны....................... 168
§ 93. Кривизны поверхности вращения............ ... 170
§ 94. Кривизна линий на сфере ................... 171
§ 95. Классификация точек поверхности . . ...................171
§ 96. Строение поверхности вблизи эллиптической точки ......... 173
§ 97. Строение поверхности вблизи гиперболической точки .........174
§ 98. Строение поверхности вблизи параболической точки 176
§ 99. Линия пересечения поверхности с ее касательной плоскостью . . 178
100. Точки поверхностей второго порядка..............179
§ 101. Сферическое отображение...................180
§ 102. Знак полной кривизны.....................182
ГЛАВА VIII. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СЕТИ И ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 103. Сопряженные направления...................185
§ 104. Сопряженная сеть.......................187
§ 105. Поверхности переноса.....................188
§ 106. Асимптотические линии ....................189
§ 107. Линии кривизны........................191
§ 108. Теорема Иоахимсталя .....................193
§ 109. Уравнение линий кривизны ..................194
§ 110. Поверхности нулевой кривизны ................197
§ 111. Поверхность, состоящая из омбилических точек.........198
ГЛАВА IX. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
§ 112. Изгибание и наложимость ...................200
§ 113. Признак наложимости.....................200
§ 114. Внутренняя геометрия поверхности .............. 202
§ 115. Изгибание развертывающихся поверхностей ..........203
§ 116. Сопровождающий трехгранник поверхности...........204
§ 117. Дифференциал единичного касательного вектора поверхности .... 206
§ 118. Геодезическая кривизна....................207
§ 119. Геодезические линии .....................209
§ 120. Геодезические линии поверхности вращения ..........211
§ 121. Полугеодезические координаты.................212
§ 122. Геодезическая линия как кратчайшая..............214
§ 123. Окончание подсчета коэффициентов сопровождающего трехгранника .............................215
§ 124. Основные квадратичные формы определяют поверхность .... 216
§ 125. Теорема Гаусса........................218
§ 126. Конформное отображение...................220
§ 127. Стереографическая проекция..................221
§ 128. Линейный элемент поверхности постоянной гауссовой кривизны 223
§ 129. Наложимость поверхностей постоянной кривизны........224
§ 130. Псевдосфера ........................225
131. Геодезические линии псевдосферы ..............226
ГЛАВА X. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
§ 132. Векторы, принадлежащие поверхности.............228
§ 133. Внутреннее параллельное перенесение.............229
§ 134. Навертывание кривой на плоскость ..............231
§ 135. Геодезическая кривизна и геодезические линии ......... 232
§ 136. Площадь сферического многоугольника.............233
§ 137. Параллельный обвод вектора по замкнутому сферическому контуру ............................235
§ 138. Параллельный обвод вектора по произвольной поверхности . . . 236
§ 139. Теорема Гаусса—Бонне....................238
§ 140. Геодезический треугольник .................240
§ 141. Теорема Гаусса—Бонне для многосвязной области........241
§ 142. Интегральная кривизна замкнутой поверхности.........243
