Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 1. Теория аналитических функций ОНЛАЙН

Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 1. Теория аналитических функций
Книга Э. Гурса „Курс математического анализа" уже приобрела у русских читателей заслуженную известность и признание. По объему это руководство является одним из наиболее полных в современной мировой математической литературе; в то же время излагаемые факты выбраны не по принципу энциклопедичности; выбор проникнут одной руководящей мыслью — дать необходимый материальна котором основывается разработка наиболее важных проблем современной науки. Книга уже принесла большую пользу нашей университетской учащейся молодежи как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразования; можно смело сказать, что она много способствовала повышению уровня нашей математической культуры. Прежние пере и оды сделаны — том I с первого и второго французских изданий, том И — со второго издания. За прошедшее с тех нор время автор подверг первый том своего курса значительной переработке, а во втором введены большие дополнения. Основной целью его была поставить новые издания на современный уровень развития математической мысли; достаточно указать, что за последние десятилетия основные понятия теории функций действительного переменного стали необходимым средством для обоснования анализа; дополнения касаются ряда вопросов, разработанных в последние десятилетия и настолько важных, что они должны найти свое место в учебнике; наряду с этим в изложение дифференциальной геометрии систематически введены гауссовы координаты. Естественно, редактор поставил своей целью дать эти новые факты и идеи в переводе. С другой стороны, Гурса исключил в новых изданиях ряд элементарных вопросов, как, например, систематическую теорию неопределенных интегралов, которые во Франции отнесены к курсу средней школы. Имея в виду нашего советского читателя, редактор не мог согласиться с такими сокращениями. Поэтому большая часть материалов старых изданий, пропущенная автором в последующем, все же включена в настоящий перевод. Для удобства читателя нумерация параграфов согласована с последними французскими изданиями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIII. Простейшие функции комплексного переменного
I. Общие замечания. Моногенные функции.......................9
255. Определения..................................................—
256. Непрерывные функции комплексного переменного..............12
257. Моногенные функции..........................................13
258. Голоморфные функции.....................................16
259. Рациональные функции........................................17
260. Исследование некоторых иррациональных функций..............18
261. Функции однозначные и многозначные..........................21
II. Целые ряды с мнимыми членами. Простейшие трансцендентные функции .
262. Круг сходимости Г..................................22
263. Ряды рядов....................................................25
264. Разложение бесконечного произведения в степенной ряд .... 26
265. Показательная функция . . ...................................28
266. Круговые (тригонометрические) функции........................30
267. Логарифмы....................................................31
268. Обратные функции: arc sin z, arc tg z............................33
269. Приложение к интегральному исчислению......................36
270. Разложение на простые элементы рациональной. функции от sin z и cos z...........38
271. Разложение Log (1 + z).................................41
272. Распространение формулы бинома..............................43
III. Понятие о конформном преобразовании . .............................45
273. Геометрическое истолкование производной......................—
274. Теорема Римана...................................49
275. Изотермические линии............................51
Упражнения....................................................52
Глава XIV. Общая теория аналитических функций по Коши
I. Определенные интегралы между мнимыми пределами.................56
276. Определения и общие положения ........................—
277. Замены переменных.............................58
278. Формулы Вейерштрасса и Дарбу......................60
279. Интегралы по замкнутому контуру..............................62
280. Исследование предпосылок, необходимых для доказательства основной теоремы..............64
281. Случай сложных контуров.................65
282. Распространение формул интегрального исчисления..............67
283. Другой вывод предыдущих результатов..........................69
II. Интеграл Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки. Вычеты ..........70
284. Основная формула...........................—
285. Теорема Морера.........................73
286. Ряд Тейлора...................74
287. Теорема Лиувилля.....................76
288. Ряд Лорана.........................77
289. Разные ряды.......................80
290. Ряды голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса...........82
291. Полюсы..........................84
292. Мероморфные функции................85
293. Существенно особые точки.....................86
294. Вычеты......................88
III. Приложения общих теорем....................90
295. Различные замечания......................—
296. Вычисление простейших определенных интегралов..............91
297. Различные определенные интегралы.................92
298. Вычисление произведения ......................95
299. Приложение к мероморфным функциям............96
300. Приложение к теории уравнений..................98
301. Формула Иенсена .............................99
302. Формула Лагранжа ....................101
303. Исследование, функции при бесконечно-больших значениях переменного .................ЮЗ
IV. Периоды определенных интегралов................106
304. Полярные периоды..................—
305. Изучение интеграла ..............109
306. Периоды ультраэллиптических интегралов............110
307. Периоды эллиптического интеграла первого рода........114
Упражнения......................116
Глава XV. Однозначные функции. Первичные множители Вейерштрасса. Теорема Миттаг-Леффлера.....126
308. Выражение целой функции через произведение первичных множителей ....................—
309. Род целой функции...............131
310. Однозначные функции с конечным числом особых точек .... —
311. Однозначные функции с бесконечным множеством особых точек ........132
312. Теорема Миттаг-Леффлера...................133
313. Исследование некоторых частных случаев............136
314. Способ Коши........................138
315. Разложение ctg х и sin х.................141
II. Двоякопериодические функции. Эллиптические функции.......145
316. Периодические функции. Разложение в ряды..........—
317. Невозможность существования однозначной функции с тремя периодами ..............147
318. Двоякопериодические функции................148
319. Эллиптические функции. Общие свойства .........149
320. Функция ..........................152
321. Алгебраическое соотношение между и фи ..............156
322. Функция .................158
323. Функция ..............160
324. Общее выражение эллиптических функций ...........161
325. Формулы сложения ................164
326. Интегрирование эллиптических функций ..........166
327. Функция 0........................168
III. Обращение. Кривые первого рода ................170
328. Соотношение между периодами и инвариантами ...........—
329. Функция, обратная эллиптическому интегралу первого вида ................172
330. Определение функции через инварианты...........179
331. Приложение к плоским кривым третьего порядка .............182
332. Общие формулы обращения.............184
333. Кривые первого рода ..............188
Упражнения .....................191
Глава XVI. Аналитическое продолжение
I. Определение аналитической функции одним из ее элементов......193
334. Первое понятие об аналитическом продолжении ........ —
335. Другое определение аналитических функций..........195
336. Особые точки...................200
337. Общая задача.................201
II. Различные методы аналитического продолжения ...........203
338. Замена переменного...................... —
339. Подпоследовательности.....................206
340. Преобразование к виду интеграла ...............207
341. Теорема Адамара.................... 211
342. Теорема Миттаг-Леффлера................213
343. Теорема Пенлеве....................214
III. Пустые пространства. Разрезы.................215
344. Особые линии. Пустые пространства..............216
345. Примеры...................218
346. Особенности аналитических выражений ............220
347. Формула Эрмита.................221
Упражнения..........................224
Глава XVII. Аналитические функции многих переменных
I. Общие свойства......................226
348. Определения.........................—
349. Совместные круги сходимости ...............227
350. Двойные интегралы................229
351. Распространение теорем Коши ..............231
352. Функции, изображаемые в виде определенных интегралов .........233
353. Приложение к функции Г...............235
354. Аналитическое продолжение функции двух переменных.....237
II. Неявные функции. Алгебраические функции.............238
355. Теорема Вейерштрасса ................ —
356. Критические точки....................242
357. Алгебраические функции.................245
358. Абелевы интегралы ....................248
350. Теорема Абеля.....................249
360. Приложение к ультраэллиптическим интегралам .........251
361. Распространение формулы Лагранжа ............255
Упражнения....................257
ДОПОЛНЕНИЕ. О последовательностях аналитических функций
1. Общие положения..................258
2. Теорема Вейерштрасса ...................259
3. Область равномерной сходимости.................261
4. Теорема Стильтьеса. Ядро равномерной сходимости...............—
5. Теорема Витали ................263
6. Нормальные последовательности..............265
7. Неограниченные сходящиеся последовательности.........267
Указатель.......................269

Convert your PDF to digital flipbook ↗