Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие

Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие. — 2-е изд. испр. — М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003. — 328 с.

В основе учебного пособия лежит курс лекций, читаемый автором на механико-математическом факультете МГУ. Книга содержит в основном традиционный материал по программе курсов «Аналитическая геометрия» и «Линейная алгебра и геометрия». В отличие от известного учебника академика П.С. Александрова в настоящем пособии векторная алгебра строится на основе современного школьного курса геометрии с четким выделением используемых аксиом Эвклида, подробно исследуются плоские сечения поверхностей 2-го порядка, приведение матрицы оператора к жордановой форме основано на геометрическом подходе, даны элементы тензорной алгебры.
Для студентов вузов по специальностям «математика», «механика».

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие…………………………….6
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Векторы…………………………7
§ 1. Предварительные теоретико-множественные понятия и факты 7
§ 2. Отрезок и полупрямая……………………8
§ 3. Полуплоскость и полупространство……..12
§ 4. Определение вектора…………14
§ 5. Сложение векторов и умножение вектора на число …. 19
§ 6. Векторы на прямой…………22
§ 7. Линейная зависимость ……….24
§ 8. Геометрический смысл линейной зависимости…..27
§ 9. Базисы и координаты…………29
§ 10. Проекции и координаты………..30
§ 11. Определение скалярного произведения векторов и его свойства 36
§ 12. Скалярное произведение в координатах…….38
§ 13. Системы координат…………40
Глава II. Уравнения прямой линии и плоскости……47
§ 14. Уравнения прямой линии на плоскости…………47
§ 15. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости 50
§ 16. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат …………….53
§ 17. Уравнения плоскости…………55
§ 18. Взаимное расположение плоскостей. Полупространства … 58
§ 19. Прямая в пространстве………………..60
§ 20. Плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат 61
Глава III. Преобразования координат. Ориентация. Векторное и смешанное произведения………..64
§ 21. Матрицы и операции над ними …. .64
§ 22. Переход от одного базиса к другому 67
§ 23. Переход от одной аффинной системы координат к другой . 69
§ 24. Ориентации прямой, плоскости, пространства … 71
§ 25. Ориентированный объем параллелепипеда……72
§ 26. Векторное и смешанное произведения…….75
§ 27. Некоторые приложения векторного и смешанного произведений
к прямым и плоскостям в пространстве…….77
Глава IV. Линии второго порядка……….
§ 28. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и
их матрицы……………81
§ 29. Ортогональные матрицы………..84
§ 30. Преобразования прямоугольных координат……86
§ 31. Ортогональные инварианты квадратичных функций …. 98
§ 32. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат………………….89
§ 33. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду……………..92
§ 34. Определение канонического уравнения линии второго порядка
по инвариантам…….. . 93
§ 35. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы 97
§ 36. Фокальное свойство эллипса и гиперболы……101
§ 37. Кривые второго порядка в полярных координатах …. 103
§ 38. Пересечение линии второго порядка с прямой…..106
§ 39. Теоремы единственности для линий второго порядка 111
§ 40. Центры линий второго порядка………113
§ 41. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка 117
§ 42. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии…………122
§ 43. Расположение линий второго порядка…….126
Глава V. Аффинные преобразования…………..132
§ 44. Преобразования………….132
§ 45. Определение и свойства аффинных преобразований . 132
§ 46. Аффинная классификация линий второго порядка …. 137
§ 47. Определение и свойства изометрических преобразований 140
§ 48. Классификация движений плоскости……..142
Глава VI. Поверхности второго порядка………146
§ 49. Основная теорема о поверхностях второго порядка . 146
§ 50. Эллипсоиды…………..148
§ 51. Гиперболоиды…………..151
§ 52. Конические сечения…………155
§ 53. Параболоиды…………..159
§ 54. Цилиндры……………161
§ 55. Аффинная классификация поверхностей второго порядка 164
Глава VII. Проективная плоскость……….167
§ 56. Пополненная плоскость и связка………167
§ 57. Однородные координаты на проективной плоскости. Теорема
Дезарга…………….169
§ 58. Проективные системы координат………175
§ 59. Проективные преобразования……….179
§ 60. Линии второго порядка в однородных координатах … 182
§ 61. Проективная и проективно-аффинная классификации линий
второго порядка………….183
ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Линейные пространства………………186
§ 1. Определение линейного пространства……..186
§ 2. Линейная зависимость. Базисы. Размерность…..190
§ 3. Подпространства линейного пространства. Операции над ними 194
§ 4. Прямая сумма подпространств-………198
§ 5. Линейные отображения и изоморфизмы…….201
Глава II. Сопряженные пространства………204
§ 6. Определение и простейшие свойства сопряженных пространств 204
§ 7. Второе сопряженное пространство……..205
§ 8. Аннуляторы и нулевые подпространства. Системы однородных
линейных уравнений…………207
Глава III. Линейные операторы в линейном пространстве 211
§ 9. Матрица линейного оператора………211
§ 10. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц … 214
§ 11. Инвариантные подпространства. Приводимые операторы 217
§ 12. Собственные векторы. Спектр оператора. Диагонализируемые
операторы……………219
§ 13. Характеристический многочлен оператора. Алгебраическая и
геометрическая кратности его корней…….221
§ 14. Нильпотентные операторы. Их характеристические многочлены 224
§ 15. Разложение вырожденного оператора в прямую сумму нильпо-
тентного и невырожденного……….227
§ 16. Единственность жордановой формы нильпотентного оператора 228
§ 17. Существование жорданова базиса для нильпотентного оператора 331
§ 18. Жорданова форма произвольного оператора…..254
§ 10. Теорема Гамильтона—Кэли …. … 235
Глава IV. Билинейные и квадратичные функции……239
§ 20. Билинейные функционалы и их матрицы……239
§ 21. Ранг билинейного функционала. Левое и правое ядра . 242
§ 22. Квадратичные функции и полярные к ним билинейные функционалы …………….244
§ 23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа…………..246
§ 24. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции . 250
§ 25. Теорема Якоби о приведении квадратичной формы к каноническому виду…………..252
§ 26. Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра. Определитель Грама. Неравенство Коши—Буняковского…………….255
Глава V. Эвклидовы пространства……….259
§ 27 Эвклидовы и нормированные пространства……259
§ 28. Длины и углы. Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации…………..262
§ 29. Ортогональное дополнение. Общий вид линейного функционала в эвклидовом пространстве……….266
§ 30. Линейные отображения эвклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы………..269
§ 31. Самосопряженные операторы……….271
§ 32. Изометрические операторы. Инвариантные подпространства.
Корни характеристического многочлена…….273
§ 33. Канонический вид изометрического оператора…..275
§ 34. Неотрицательные операторы…… … 277
§ 35. Разложение произвольного оператора в композицию неотрицательного и изометрического……….279
§ 36. Квадратичные функции в эвклидовых пространствах 280
Глава VI. Точечные пространства………..283
§ 37. Аффинные и точечно-эвклидовы пространства…..283
§ 38. Плоскости в аффинных пространствах. Различные способы их задания…………….286
§ 39. Пересечение плоскостей. Их взаимное расположение 288
§ 40. Выпуклые множества в аффинных пространствах . 292
§ 41. Точки общего положения. Симплексы. Барицентрические координаты ……………296
§ 42. Аффинные отображения аффинных пространств. Разложение аффинного отображения точечно-эвклидова пространства в композицию изометрического и неотрицательного самосопряженного 298
§ 43 Классификация движений пространства…….302
§ 44. Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве 305
Глава VII. Элементы тензорной алгебры………309
§ 45. Тензоры. Запись в координатах………309
§ 46. Операции над тензорами. Базис в пространстве тензоров 312
§ 47. Симметрическое и кососимметрические тензоры. Альтернирование …………….213
§ 48. Внешнее умножение. Базис в пространстве кососимметрических тензоров…………….317
Предметный указатель . ………….

Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×