Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление ОНЛАЙН

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М., 1969. - 424 с.
Настоящая книга - классический учебник по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению для студентов
физических и физико-математических факультетов университетов. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете МГУ.
Цель данного учебника -- способствовать глубокому усвоению теории с помощью 300 подробно решенных примеров и 250 задач разного уровня сложности: от простых до самых сложных и нетривиальных. Большинство примеров имеет прямое приложение в физике.
Книга состоит из двух независимых частей. В первой части подробно изложены методы интегрирования дифференциальных уравнений и простейшие способы исследования их решений; вторая часть знакомит читателя с методами решения различных вариационных задач. Каждая глава снабжена задачами для самостоятельного решения.
Книга будет полезна и интересна и тем, кто только начинает знакомство с предметом, и тем, кто стремится углубить свои знания в этой области.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 8
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8
Введение 9
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 15
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 19
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными 24
§ 4. Линейные уравнения первого порядка 27
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах 32
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения dy/dx=j{x,y) 39
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной 68
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения 75
Задачи к главе 1 82
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85
§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального 85
уравнения n-го порядка
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка 87
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения n-то порядка 93
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и 107
уравнения Эйлера
§ 5. Линейные неоднородные уравнения 113
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 124
и уравнения Эйлера
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 137
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных 147
колебаний
§ 9. Понятие о краевых задачах 159
Задачи к главе 2 165
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 168
§ 1. Общие понятия 168
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем 171
сведения к одному уравнению более высокого порядка
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций 178
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений 181
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 192
коэффициентами
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных 199
уравнений и уравнений n-го порядка
Задачи к главе 3 201
Глава 4. Теория устойчивости 203
§ 1. Основные понятия 203
§ 2. Простейшие типы точек покоя 206
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова 215
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению 221
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней 227
многочлена
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка 230
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях 234
Задачи к главе 4 238
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка 241
§ 1. Основные понятия 241
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 243
первого порядка
§ 3. Уравнения Пфаффа 255
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка 260
Задачи к главе 5 278
ЧАСТЬ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение 280
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами 284
§ 1. Вариация и ее свойства 284
§ 2. Уравнение Эйлера 292
§ 3. Функционалы вида 305
§ 4. функционалы, зависящие от производных более высокого порядка 308
§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых 312
переменных
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме 317
§ 7. Некоторые приложения 320
Задачи к главе б 324
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые 327
другие задачи
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами 327
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида 334
§ 3. Экстремали с угловыми точками 338
§ 4. Односторонние вариации 346
Задача к главе 7 349
Глава 8. Достаточные условия экстремума 351
§ 1. Поле экстремалей 351
§ 2. Функция Е(х, у,р,у') 357
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду 368
Задачи к главе 8 373
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум 375
§ 1. Связи вида 375
§ 2. Связи вида 382
§ 3. Изопериметрические задачи 385
Задачи к главе 9 393
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах 394
§ 1. Прямые методы 394
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера 395
§ 3. Метод Ритца 397
§ 4. Метод Канторовича 406
Задачи к главе 10 412
Ответы и указания к задачам 414
Рекомендуемая литература 421
Предметный указатель 422

Convert your PDF to digital flipbook ↗