Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии ОНЛАЙН

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-е изд., стереот. — М., 2005. — 240 с.
Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, которые в декартовых координатах задаются уравнениями первой степени или второй. На плоскости — это прямые и линии второго порядка. В пространстве — плоскости и прямые, поверхности второго порядка. Этот материал изложен в книге в минимальном объеме, необходимом для усвоения дальнейших глав высшей математики и ее приложений.
Для студентов высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию ......................................6
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости ..................................7
§ 1. Ось и отрезки оси........................................................................7
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось ........................................10
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Понятие
о декартовых косоугольных координатах ....................................12
§ 4. Полярные координаты ................................................................16
Глава 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости . . 19
§ 5. Проекция отрезка. Расстояние между двумя точками ................19
§ 6. Вычисление площади треугольника ............................................24
§ 7. Деление отрезка в данном отношении ........................................26
§ 8. Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге
осей ........................................................................................30
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей ................31
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат при изменении начала и повороте осей ......33
Глава 3. Уравнение линии ......................................................................36
§ 11. Понятие уравнения линии. Примеры задания линий при помощи уравнений ...........36
§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий ..................42
§ 13. Задача о пересечении двух линий................................................45
§ 14. Параметрические уравнения лилии ............................................46
§ 15. Алгебраические линии ................................................................47
Глава 4. Линии первого порядка ............................................................50
§ 16. Угловой коэффициент ................................................................50
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ..........................51
§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.......54
§ 19. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой . . 56
§ 20. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках» .................................58
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых....................60
§ 22. Нормальное уравнение прямой. Задача вычисления расстояния от точки до прямой..............62
§ 23. Уравнение пучка прямых ............................................................66
Глава 5. Геометрические свойства линии второго порядка......................70
§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения ...............................70
§ 25. Исследование формы эллипса......................................................74
§ 26. Эксцентриситет эллипса ..............................................................77
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса............77
§ 28. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения эллипса ...........................78
§29. Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как
сечение круглого цилиндра..........................................................79
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения .........................82
§ 31. Исследование формы гиперболы ................................................86
§ 32. Эксцентриситет гиперболы ..........................................................93
§ 33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы ... 93
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы ..............................................94
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы................97
§ 36. Исследование формы параболы ..................................................100
§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы................102
§ 38. Диаметры линий второго порядка ..............................................104
§ 39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы ..............109
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения ............109
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат..............111
§41. Примеры приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду ....111
§42. Гипербола как график обратной пропорциональности. Парабола
как график квадратного трехчлена ..............................................120
ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 7. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии
в пространстве ........................................................................123
§43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве ..............123
§44. Понятие свободного вектора. Проекции вектора на ось ............126
§45. Проекции вектора на оси координат ..........................................130
§46. Направляющие косинусы ............................................................132
§47. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном
отношении....................................................................................133
Глава 8. Линейные операции над векторами ..........................................135
§48. Определение линейных операций................................................135
§49. Основные свойства линейных операций ....................................136
§50. Разность векторов ........................................................................139
§51. Основные теоремы о проекциях..................................................141
§52. Разложение векторов на компоненты..........................................144
Глава 9. Скалярное произведение векторов ............................................148
Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов ....................154
§55. Векторное произведение и его основные свойства......................154
§56. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов ..........................................................................161
§57. Смешанное произведение трех векторов ....................................163
§58. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов ..........................................................................167
Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии ............................169
§59. Уравнение поверхности................................................................169
§60. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей .... 171
§61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными одной из координатных осей ............................172
§62. Алгебраические поверхности........................................................174
Глава 12. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения прямой ........................................................................................176
§63. Плоскость как поверхность первого порядка..............................176
§64. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках» ..........................................................................................179
§65. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости ............................................................................................181
§66. Уравнения прямой ......................................................................185
§67. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой ..................................189
§68. Некоторые дополнительные предложения и примеры................192
Глава 13. Поверхности второго порядка ................................................198
§69. Эллипсоид и гиперболоиды ........................................................198
§70. Конус второго порядка ................................................................204
§71. Параболоиды................................................................................205
§72. Цилиндры второго порядка ........................................................209
§73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Конструкции В.Г. Шухова ..........................................................210
Приложение. Элементы теории определителей ..................................215
§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными....................................................215
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя
неизвестными ..............................................................................219
§ 3. Определители третьего порядка ..................................................222
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры ......................................226
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными..................................................................230
§ 6. Понятие определителя любого порядка ......................................237

Convert your PDF to digital flipbook ↗