Нивен Айвен. Числа рациональные и иррациональные ОНЛАЙН

Нивен Айвен. Числа рациональные и иррациональные. Пер. с англ. В. В. Сазонова. Под ред. И. М. Яглома. М., 1966.
Эта книга посвящена одному из основных понятий математики — понятию действительного числа. Ученики старших классов (именно на них она в первую очередь и рассчитана) узнают из нее некоторые свойства чисел, о которых они раньше и не подозревали, и познакомятся с доказательствами теорем, принимаемых в школьном курсе алгебры на веру.
Изложение очень простое и живое. Оно сопровождается рядом вопросов и задач, облегчающих активное усвоение материала.
Автор книги — известный американский специалист по теории чисел.
Оглавление
От редактора ................................5
Введение ....................................9
ГЛАВА I. Натуральные и целые числа .........17
§ 1. Простые числа.............19
Упражнения..............19
§ 2. Единственность разложения на простые множители ................20
§ 3. Целые числа..............23
Упражнения . .............26
§ 4. Четные и нечетные целые числа.......26
Упражнения . .............28
§ 5. Свойства замкнутости..........29
§ 6. Замечания о природе доказательства .... 30
Упражнения..............31
ГЛАВА II. Рациональные числа.......... 33
§ 1. Определение рациональных чисел.....33
Упражнения ..............35
§ 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби ........ 36
Упражнение..............39
§ 3. Различные способы формулировки и доказательства предложений ...........39
Упражнения...............45
§ 4. Периодические десятичные дроби.....45
Упражнение..............50
§ 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби .......50
Упражнения..............52
§ 6. Краткие выводы......... 53
ГЛАВА III. Действительные числа..........54
§ 1. Геометрическая точка зрения.......54
§ 2. Десятичные представления........56
§ 3. Иррациональность числа √2.......59
§ 4. Иррациональность числа √ 3.......60
§ 5. Иррациональность чисел √6 и √2 + √3 ... 61
Упражнения ..............63
§ 6. Слова, которыми мы пользуемся......63
§ 7. Приложение к геометрии.........65
§ 8. Краткие выводы ...... ......70
ГЛАВА IV. Иррациональные числа ..........72
§ 1. Свойства замкнутости..........72
Упражнения..............75
§ 2. Алгебраические уравнения........76
Упражнения...............79
§ 3. Рациональные корни алгебраических уравнений........ 79
Упражнения..............85
§ 4. Дальнейшие примеры..........86
Упражнения..............88
§ 5. Краткие выводы............88
ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций..........90
§ 1. Иррациональные значения тригонометрических функций ...............90
Упражнения ...............93
§ 2. Одно общее правило..........93
Упражнения..............95
§ 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов ................. 95
Упражнения..............97
§ 4. Трансцендентные числа.........97
Упражнения..............101
§ 5. Три знаменитые задачи на построение . . .101
Упражнения..............108
§ 6. Дальнейший анализ числа √2......108
Упражнения..............109
§ 7. Краткие выводы............109
ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рациональными ..............111
§ 1. Неравенства..............112
Упражнения..............114
§ 2. Приближение целыми числами......115
Упражнения...... ........117
§ 3. Приближение рациональными числами ........ 117
Упражнения..............120
§ 4. Лучшие приближения ..........121
Упражнения..............127
§ 5. Приближения с точностью до 1/n2.....128
Упражнения..............132
§ 6. Ограничения точности приближений .... 132
Упражнения..............135
§ 7. Краткие выводы............136
ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел ....... 137
§ 1. Предварительные сведения из алгебры ........ 139
Упражнения.................142
§ 2. Один способ приближения числа а.....142
§ 3. План доказательства..........143
Упражнения..............145
§ 4. Свойства многочленов..........145
§ 5. Трансцендентность числа а........147
§ 6. Краткие выводы ...... ......149
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Доказательство бесконечности числа простых чисел.............151
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство основной теоремы арифметики . ...............153
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел..........159
Упражнения..............167
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. И. М. Яглом. Доказательство иррациональности значений тригонометрических функций 168
Ответы и указания к упражнениям..........188
Литература...................194

Convert your PDF to digital flipbook ↗