Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: Учебное пособие. — М., 2007. — 608 с.: ил.
В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 12
Некоторые обозначения 14
Глава 1. Квадратный трёхчлен 16
1.1. Наименьшее значение квадратного трёхчлена (16).
1.2. Дискриминант (16). 1.3. Разные задачи (17). 1.4. Теорема о промежуточном значении (18). 1.5. Уравнение касательной к конике (19). 1.6. Результант (19).
Решения............................ 19
Глава 2. Уравнения 26
2.1. Замена переменных (26). 2.2. Угадывание корней (26). 2.3. Уравнения с радикалами (26). 2.4. Разные уравнения (27).
Решения................................27
Глава 3. Системы уравнений 31
3.1. Нахождение всех решений (31). 3.2. Нахождение вещественных решений (31). 3.3. Положительные решения (32). 3.4. Количество решений системы уравнений (32). 3.5. Линейные системы уравнений (33).
Решения............................ 35
Глава 4. Делимость 42
4.1. Чёт и нечет (42). 4.2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (43). 4.3. Разложение на простые множители (44). 4.4. Признаки делимости (44). 4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (45).
4.6. Делимость нацело (46). 4.7. Делимость на степень простого числа (47). 4.8. Остатки от деления (48). 4.9. Взаимно простые числа (49). 4.10. Простые числа (49). 4.11. Арифметика остатков (50).
Решения ............................ 50
Глава 5. Тождества 65
5.1. Разложение на множители (65). 5.2. Доказательство тождеств (65). 5.3. Суммы квадратов (65). 5.4. Вспомогательные тождества (66). 5.5. Разложения рациональных функций (67). 5.6. Разложения квадратичных функций (67). 5.7. Тождества с целыми частями (67). Решения............................ 68
Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 74
6.1. Сравнение чисел (74). 6.2. Иррациональности в знаменателях (74). 6.3. Тождества с радикалами (75). 6.4. Доказательства иррациональности и рациональности (76). 6.5. Сопряжённые числа (76). 6.6. Последовательность Фа-рея (77). 6.7. Задачи с целыми частями (78). Решения............................ 78
Глава 7. Текстовые задачи 88
7.1. Решения без вычислений (88). 7.2. Вычисления (88). 7.3. Неравенства (89). 7.4. Целочисленные приближения (90). 7.5. Соответствия (91).
Решения............................ 91
Глава 8. Неравенства 96
8.1. Неравенство . 8.2. Неравенство треугольника (96). 8.3. Неравенство Коши (97). 8.4. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (98). 8.5. Неравенства, имеющие геометрическую интерпретацию (99). 8.6. Циклические неравенства (99).
8.7. Разные неравенства (100). 8.8. Выпуклость (101). 8.9. Неравенства Гёльдера и Минковского (102).
Решения............................ 103
Глава 9. Вычисление сумм и произведений 116
9.1. Арифметическая и геометрическая прогрессии (116).
9.2. Изменение порядка суммирования (117). 9.3. Суммы (117). 9.4. Разбиение на пары (118). 9.5. Вычисление одной суммы двумя способами (119). Решения............................119
Глава 10. Многочлены — I 125
10.1. Выделение полного квадрата (125). 10.2. Корни многочленов (125). 10.3. Коэффициенты многочлена (125). 10.4. Теорема Виета (126). 10.5. Делимость (126). 10.6. Неравенства для корней (128). 10.7. Количество вещественных корней многочлена (128). 10.8. Разные задачи (128). 10.9. Интерполяционные многочлены (129). 10.10. Рациональные функции (130). 10.11. Целозначные многочлены (130). 10.12. Многочлены от нескольких переменных (131).
Решения............................131
Глава 11. Тригонометрия 142
11.1. Неравенства и сравнение чисел (142). 11.2. Тригонометрические тождества (143). 11.3. Уравнения (143). 11.4. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками (144). 11.5. Вычисление сумм и произведений (144). 11.6. Выражения для cosnrfi и т.п. (145). 11.7. Вспомогательные тригонометрические функции (146). 11.8. Тригонометрические многочлены (147).
Решения............................147
Глава 12. Уравнения в целых числах 159
12.1. Пифагоровы тройки (159). 12.2. Нахождение всех решений (159). 12.3. Нахождение некоторых решений (160).
12.4. Доказательство конечности числа решений (161). 12.5. Уравнение Пелля (161). 12.6. Уравнение Маркова (162).
Решения...... ...................... 162
Глава 13. Индукция 171
13.1. Вычисление сумм (171). 13.2. Неравенства (171). 13.3. Доказательство тождеств (172). 13.4. Разные задачи (172).
Решения ............................173
Глава 14. Комбинаторика 178
14.1. Элементы комбинаторики (178). 14.2. Тождества для биномиальных коэффициентов (179). 14.3. Бином Ньютона в арифметике (180). 14.4. Комбинаторика в арифметике (180). 14.5. Неравенства для биномиальных коэффициентов (181). 14.6. Арифметика биномиальных коэффициентов (181). 14.7. Формула включений и исключений (181). 14.8. Аналоги биномиальных коэффициентов (182). 14.9. Числа Каталана (182). 14.10. Элементы теории вероятностей (184).
Решения............................185
Глава 15. Рекуррентные последовательности 201
15.1. Общие свойства (201). 15.2. Числа Фибоначчи (201). 15.3. Числа Фибоначчи и алгоритм Евклида (203). 15.4. Числа Фибоначчи в комбинаторике (203). 15.5. Специальные рекуррентные последовательности (204). Решения............................204
Глава 16. Примеры и конструкции 210
16.1. Наборы чисел (210). 16.2. Бесконечные последовательности (211). 16.3. Последовательности операций (211). 16.4. Многочлены и рациональные функции (211), 16.5. Разные примеры и конструкции (212).
Решения............................213
Глава 17. Принцип Дирихле. Правило крайнего 218
17.1. Остатки от деления (218). 17.2. Разные задачи (219). 17.3. Приближения иррациональных чисел рациональными (220). 17.4. Правило крайнего (220).
Решения............................221
Глава 18. Инварианты и полуинварианты 228
18.1. Остатки от деления (228). 18.2. Полуинварианты (229). 18.3. Чётность перестановки (229). Решения............................231
Глава 19. Логика 236
19.1. Логические задачи (236). 19.2. Логические парадоксы (237). 19.3. Логика высказываний (238). Решения............................239
Глава 20. Стратегии. Турниры. Таблицы 242
20.1. Выбор стратегии (242). 20.2. Переливания (243). 20.3. Турниры (243). 20.4. Взвешивания (244). 20.5. Таблицы (245).
Решения............................246
Глава 21. Системы счисления 256
21.1. Последние цифры (256). 21.2. Первые цифры (256). 21.3. Другие цифры (257). 21.4. Сумма цифр (257). 21.5. Разные задачи о десятичной записи (257). 21.6. Периоды десятичных дробей и репьюниты (258). 21.7. Определение rf-ичной записи числа (259). 21.8. Двоичная система (259). 21.9. Другие системы счисления (260). 21.10. Другие представления чисел (261).
Решения............................261
Глава 22. Графы 269
22.1. Обходы графов (270). 22.2. Ориентированные графы (270). 22.3. Паросочетания (270).
Решения............................271
Глава 23. Комплексные числа 275
23.1. Тождества pi неравенства для комплексных чисел (276). 23.2. Формула Муавра (276). 23.3. Корни из единицы (277). 23.4. Корни многочленов (279). Решения............................279
Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах 285
24.1. Решение кубических уравнений (286). 24.2. Дискриминант кубического многочлена (286). 24.3. Решение уравнений 4-й степени (287). 24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах (287).
Решения............................287
Глава 25. Предел последовательности 293
25.1. Свойства пределов (293). 25.2. Теорема Вейерштрас-са (294). 25.3. Вычисление пределоз (295). 25.4. Число е (296). 25.5. Сопряжённые числа (297). 25.6. Точная верхняя грань (297).
Решения........................... . 298
Глава 26. Непрерывные и разрывные функции 310
26.1. Монотонные функции (310). 26.2. Периодические функции (310). 26.3. Предел функции (310). 26.4. Непрерывность (311). 26.5. Теорема о промежуточном значении (312). 26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке (312). 26.7. Выпуклые функции (313). 26.8. Равномерная непрерывность (314). 26.9. Функции ограниченной вариации (314).
Решения............................315
Часть 1
Глава 27. Логарифм и показательная функция 322
27.1. Определение показательной функции и логарифма (322). 27.2. Показательная функция (323). 27.3. Тождества для логарифмов (323). 27.4. Неравенства и сравнение чисел (324). 27.5. Иррациональность логарифмов (324). 27.6. Некоторые замечательные пределы (324). 27.7. Гиперболические функции (324).
Решения............................325
Глава 28. Производная 331
28.1. Определение производной (331). 28.2. Производные элементарных функций (332). 28.3. Кратный корень многочлена (333). 28.4. Производная многочлена (333). 28.5. Тождества (334). 28.6. Касательная и нормаль (335).
28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке (335).
28.8. Неравенства (337). 28.9. Правило Лопиталя (338),
28.10. Количество корней уравнения (338). 28.11. Периодические функции (339). 28.12. Нормированные симметрические функции (339). 28.13. Алгебраические и трансцендентные функции (340). 28.14. Формула Тейлора (340).
Решения............................341
Глава 29. Интеграл 361
29.1. Неопределённый интеграл (361). 29.2. Определённый интеграл (362). 29.3. Вычисление интегралов (364). 29.4. Вычисление площадей (365). 29.5. Вычисление объёмов (365). 29.6. Длина кривой (366). 29.7. Площадь поверхности (367). 29.8. Неравенства (367). 29.9. Вычисление пределов (368). 29.10. Тождества (369). 29.11. Примеры и конструкции (369). 29.12. Несобственные интегралы (369).
Решения............................370
Глава 30. Ряды 384
30.1. Вычисление бесконечных сумм (384). 30.2. Вычисление бесконечных произведений (384). 30.3. Гармонический ряд (384). 30.4. Ряд для логарифма (386). 30.5. Ряды для числа л (387). 30.6. Экспонента в комплексной области (387). 30.7. Доказательства неравенств (388). 30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды (388). 30.9. Сходимость бесконечных произведений (388).
Решения............................389
Глава 31. Элементы теории чисел 399
31.1. Малая теорема Ферма (399). 31.2. Псевдопростые числа (399). 31.3. Функция Эйлера (400). 31.4. Теорема Вильсона (400). 31.5. Задачи о сравнениях (401). 31.6. Функция Ои(п). Делители (402). 31.7. Квадратичные вычеты (403). 31.8. Квадратичный закон взаимности (404). 31.9. Гауссовы суммы (406). 31.10. Суммы двух квадратов (406). 31.11. Суммы четырёх квадратов (407).
31.12. Первообразные корни по простому модулю (408).
31.13. Первообразные корни по составному модулю (409).
31.14. Теорема Чебышева о простых числах (410). Решения............................410
Глава 32. Многочлены — II 434
32.1. Разделение корней (434). 32.2. Неприводимые многочлены (436). 32.3. Симметрические многочлены (439). 32.4. Многочлены Чебышева (442). 32.5. Алгебраические и трансцендентные числа (444). 32.6. Присоединение корня многочлена (445).
Решения............................446
Глава 33. Алгоритмы и вычисления 460
33.1. Вычисления некоторых чисел (460). 33.2. Арифметические операции. Многочлены (460). 33.3. Сортировка (461). 33.4. Криптография с открытым ключом (463). Решения ............................464
Глава 34. Функциональные уравнения 470
34.1. Метод подстановки (470). 34.2. Функциональные уравнения для произвольных функций (470). 34.3. Функциональные уравнения для непрерывных функций (471). 34.4. Функциональные уравнения для дифференцируемых функций (472). 34.5. Функциональные уравнения для многочленов (472).
Решения ............................474
Глава 35. Цепные дроби 484
35.1. Определение и основные свойства (484). 35.2. Наилучшие приближения (486). 35.3. Цепные дроби и уравнение Пелля (486).
Решения............................487
Глава 36. Формальные ряды и производящие функции 493
36.1. Формальные ряды (493). 36.2. Формальная производная (494). 36.3. Корень из формального ряда (494). 36.4. Экспонента и логарифм (494). 36.5. Тождества для формальных рядов (495). 36.6. Производящие функции (496). 36.7. Числа и многочлены Бернул-ли (497). 36.8. Число разбиений (497). 36.9. Формулы Варинга (498).
Решения ...................499
Глава 37. Исчисление конечных разностей 510
37.1. Свойства конечных разностей (510). 37.2. Обобщённая степень (511). 37.3. Формула суммирования Эйлера (511).
Решения............................512
Глава 38. Кривые на плоскости 515
38.1. Полярные координаты (516). 38.2. Огибающая семейства кривых (516). 38.3. Кривизна (519). 38.4. Соприкасающаяся окружность (520). 38.5. Фокальные точки. Эволюта (521).
Решения............................522
Глава 39. Теория множеств 531
39.1. Конечные множества (531). 39.2. Операции над множествами (531). 39.3. Равномощные множества (532). 39.4. Счётные множества (533). 39.5. Мощность континуума (533). 39.6. Свойства мощности (534). 39.7. Парадоксы теории множеств (534).
Решения ............................535
Дополнение 539
1. Рациональная параметризация окружности (539).
2. Суммы квадратов многочленов (543). 3. Представление чисел в виде суммы двух квадратов (546). 4. Построение правильного 17-угольника (549). 5. Построения циркулем и линейкой (553). 6. Хроматический многочлен графа (561). 7. Трансцендентность чисел е и к (565). 8. Разрешимость уравнений в радикалах (570). 9. Дио-фантовы уравнения для многочленов (584). 10. Теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии (589). 11. Происхождение математических терминов (594).
Указатель имён 597
Предметный указатель 598
Часть 2
