И.Х. Сивашинский. ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ФУНКЦИЯМ
Книга представляет собой сборник задач повышенной трудности по алгебре и элементарным функциям, снабженных решениями. Это пособие предназначено в первую очередь для самообразования. Книга может быть полезной преподавателям и учащимся математических школ, руководителям математических кружков, студентам вузов, а также при подготовке к конкурсным экзаменам в вузы, в которых предъявляются повышенные требования по математике.
Книга состоит главным образом из задач, предлагавшихся в вечерней математической школе при МГУ, учащимся физико-математической школы № 2 г. Москвы и слушателям специального семинара для учителей г. Москвы по решению усложненных задач по математике, руководимого автором в течение ряда лет.
В книгу включены некоторые задачи математических олимпиад всех уровней — от внутришкольных до международных.
В сборнике приведены также наиболее интересные задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в те вузы, которые предъявляют повышенные требования по математике.
Пособие охватывает все разделы курса «Алгебра и элементарные функции».
Параграфы 2 (Делимость. Сравнения) и 12 (Комплексные числа) снабжены краткими теоретическими сведениями. Последнее вызвано тем, что «Сравнения» излагаются в школах лишь на факультативных или внеклассных занятиях, а «Тригонометрическая форма комплексного числа» (по мнению автора) изложена в стабильных учебниках неудачно.
В книге приведены решения всех задач. В отдельных случаях, когда задача допускает существенно различные подходы к решению, приведены два решения, а несколько задач решены тремя способами.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
§ 1. Целые числа 5
§ 2. Делимость. Сравнения 7
§ 3. Решение уравнений в целых числах 14
§ 4. Преобразования рациональных выражений 16
§ 5. Преобразования выражений, связанных с иррациональностями 18
§ 6. Преобразования выражений, связанных с логарифмической функцией 20
§ 7. Преобразования выражений, связанных с тригонометрическими функциями 21
§ 8. Последовательности. Суммы 23
§ 9. Уравнения и системы уравнений 27
§ 10. Доказательство неравенств 38
§ 11. Решение неравенств 42
§ 12. Комплексные числа 44
§ 13. Исследование функции и построение графиков 50
§ 14. Пределы 53
§ 15. Разные задачи 56
